Encontre aproximações numéricas para soluções do sistema de equações
usando as seguintes aproximações iniciais:
(a)
X^(0)=(1,1,1) .
(a)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar numericamente as soluções do sistema não-linear
usando como chute inicial
X^(k+1) ;=; Gl(X^(k)r) .
Conteúdo: método de iteração de ponto-fixo (fixed-point).
O que vamos precisar:
• Saber reescrever cada equação na forma .
• Saber aplicar a fórmula de iteração
Conteúdo: método de iteração de ponto-fixo (fixed-point).
O que vamos precisar:
• Saber reescrever cada equação na forma
• Saber aplicar a fórmula de iteração
• Calcular cossenos e fazer contas de soma/ divisão.
Passo 2
Transformando em ponto-fixo, isolamos cada
G(X)= g1(x1,x2,x3)[6pt] g2(x1,x2,x3)[6pt] g3(x1,x2,x3) = dfraccos(x1)+x22[6pt] dfraccos(x2)+x1+x32[6pt] cos(x3)+x2 :
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Logo, definimos
[
G(X)=
]
Passo 3
Agora aplicamos a iteração
x1^(1) &= tfraccos(1) + 12 = tfrac0.5403023 + 12 approx 0.77015, x2^(1) &= tfraccos(1) + 1 + 12 = tfrac0.5403023 + 22 approx 1.27015, x3^(1) &= cos(1) + 1 = 0.5403023 + 1 approx 1.54030 .
Chute inicial X^(1) approx (0.77015,;1.27015,;1.54030) .
Calculemos :
Chute inicial
Calculemos
Então
Passo 4
Vamos a
x1^(2) &= tfraccos(0.77015) + 1.270152 = tfrac0.7172 + 1.270152 approx 0.9937, x2^(2) &= tfraccos(1.27015) + 0.77015 + 1.540302 = tfrac0.2959 + 0.77015 + 1.540302 approx 1.3032, x3^(2) &= cos(1.54030) + 1.27015 = 0.03050 + 1.27015 approx 1.3006 :
Logo
Resposta
Usando duas iterações de ponto-fixo a partir de
boxedX approx (0.9937,;1.3032,;1.3006) , obtemos a aproximação