Encontre aproximações numéricas para soluções do sistema de equações
2 x1-x2 & =cos (x1) -x1+2 x2-x3 & =cos (x2) -x2+x3 & =cos (x3)
usando as seguintes aproximações iniciais:
X^(0)=(-0.5,-2,-3).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar aproximações numéricas das raízes de um sistema não–linear de três equações:
2x1 - x2 = cos(x1) -,x1 + 2x2 - x3 = cos(x2) -,x2 + x3 = cos(x3)
Isso cai na matéria de métodos numéricos para sistemas não–lineares, mais especificamente no método de Newton para sistemas.
O que vamos precisar:
  1. escrever o vetor-função x^(k+1) = x^(k) - l[J(x^(k))r]^-1,Fl(x^(k)r) que reúne as três equações no formato ;
  2. calcular a matriz Jacobiana (ou seja, a matriz das derivadas parciais de cada componente de );
  3. aplicar as fórmulas de Newton para sistemas:
Começamos com .

Passo 2

Definindo
F(x)= 2x1 - x2 - cos(x1)[6pt] -,x1 + 2x2 - x3 - cos(x2)[6pt] -,x2 + x3 - cos(x3) ,
a Jacobiana é
[
J(x)=
J(x)= partial F1partial x1 & partial F1partial x2 & partial F1partial x3[6pt] partial F2partial x1 & partial F2partial x2 & partial F2partial x3[6pt] partial F3partial x1 & partial F3partial x2 & partial F3partial x3 = 2 + sin(x1) & -1 & 0 -1 & 2 + sin(x2) & -1 0 & -1 & 1 + sin(x3)

resolver J(x^(k)),De.
]
A iteração de Newton em cada passo é
ã

Passo 3

Primeira iteração ( F(x^(0))approx 0.1224174 -0.0838532 -0.0100075 ), com J(x^(0))approx 1.5205745 & -1 & 0 -1 & 1.0907026 & -1 0 & -1 & 0.8588800 :
  1. Calcular x^(1) = x^(0) + De:
  2. Montar :
  3. Resolver
    .
  4. Atualizar

Passo 4

Segunda iteração ( x^(2) = x^(1) + De):
  1. .
  2. .
  3. Resolver em
    .
  4. Atualizar

Passo 5

Repetindo mais uma iteração, a correção já fica da ordem de ou menos. Para tolerância em torno de , mais duas iterações atingiriam convergência, mas a gente já está bem pertinho da solução.

Resposta

Uma aproximação da raiz do sistema é
(x1,,x2,,x3)approx (-0.5918,,-2.0140,,-3.0056)

Exercícios relacionados