Encontre aproximações numéricas para soluções do sistema de equações
usando as seguintes aproximações iniciais:
X^(0)=(-0.5,-2,-3) .
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar aproximações numéricas das raízes de um sistema não–linear de três equações:
Isso cai na matéria de métodos numéricos para sistemas não–lineares, mais especificamente no método de Newton para sistemas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- escrever o vetor-função
que reúne as três equações no formatox^(k+1) = x^(k) - l[J(x^(k))r]^-1,Fl(x^(k)r) ; - calcular a matriz Jacobiana
(ou seja, a matriz das derivadas parciais de cada componente de ); - aplicar as fórmulas de Newton para sistemas:
Começamos com
.
Passo 2
Definindo
F(x)= 2x1 - x2 - cos(x1)[6pt] -,x1 + 2x2 - x3 - cos(x2)[6pt] -,x2 + x3 - cos(x3) ,
a Jacobiana é
[
J(x)=
J(x)= partial F1partial x1 & partial F1partial x2 & partial F1partial x3[6pt] partial F2partial x1 & partial F2partial x2 & partial F2partial x3[6pt] partial F3partial x1 & partial F3partial x2 & partial F3partial x3 = 2 + sin(x1) & -1 & 0 -1 & 2 + sin(x2) & -1 0 & -1 & 1 + sin(x3)
]
A iteração de Newton em cada passo é
Passo 3
Primeira iteração (
F(x^(0))approx 0.1224174 -0.0838532 -0.0100075 ), com
J(x^(0))approx 1.5205745 & -1 & 0 -1 & 1.0907026 & -1 0 & -1 & 0.8588800 :
- Calcular
:x^(1) = x^(0) + De - Montar
: - Resolver
dá
. - Atualizar
Passo 4
Segunda iteração (
x^(2) = x^(1) + De ):
-
. -
. - Resolver
em dá
. - Atualizar
Passo 5
Repetindo mais uma iteração, a correção
já fica da ordem de
ou menos. Para tolerância em torno de
, mais duas iterações atingiriam convergência, mas a gente já está bem pertinho da solução.
Resposta
Uma aproximação da raiz do sistema é