Encontre os únicos a, b in R tais que a função f(x)=a sin (x)+b cos (x) satisfaça:
f(pi / 4)=1,4 e f(pi / 3)=2,8

Passo 1

Então, o problema diz: temos uma função
f(x) = asin(x) + bcos(x)
e queremos achar os reais fl(tfracpi4r)=1.4 e fl(tfracpi3r)=2.8 e tais que
Matéria envolvida: trigonometria básica (valores de e em ângulos especiais) e resolução de sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas. Vamos usar os valores numéricos de e em e , montar o sistema e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro valor: sin!l(tfracpi4r) = tfracraiz22, cos!l(tfracpi4r) = tfracraiz22 . Sabemos que
acdottfracraiz22 ;+; bcdottfracraiz22 ;=;1.4 Longrightarrow raiz22(a+b)=1.4
Substituindo em , dá

Passo 3

Isolando a+b = 1.4cdot2raiz2 = 2.8raiz2 =1.4raiz2 :
(1) a + b = 1.4raiz2
Essa é a nossa Equação (1):

Passo 4

Agora o segundo valor: sin!l(tfracpi3r)=tfracraiz32, cos!l(tfracpi3r)=tfrac12 . Temos
acdottfracraiz32 ;+; bcdottfrac12 = 2.8 Longrightarrow raiz32,a + 12,b = 2.8
Em (2) araiz3 + b = 5.6 :
Multiplicando tudo por 2, vira Equação (2):

Passo 5

Da (2) isolamos b = 5.6 ;-; araiz3 :

Passo 6

Substituímos esse a + l(5.6 - araiz3r) = 1.4raiz2 ;Longrightarrow; a - araiz3 + 5.6 = 1.4raiz2 ;Longrightarrow; a,(1 - raiz3) = 1.4raiz2 - 5.6 na Equação (1):
a = 1.4raiz2 - 5.6,1 - raiz3,
Logo
a approx 4.948,
Podemos multiplicar numerador e denominador por e racionalizar, mas já é uma forma exata. Se quiser um valor aproximado:

Passo 7

Para b approx 5.6 - 4.948cdot1.732 approx -2.966 , voltamos em . Usando o aproximado:

Resposta

a = 1.4raiz2 - 5.61 - raiz3 e b = 5.6 - araiz3,
que numericamente dá
a approx 4.95, b approx -2.97

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