Suponha que uma indústria consuma energia elétrica de três usinas diferentes. O custo de fornecimento em reais por hora como função da potência consumida em kW é dada pelas seguintes funções:
Para calcula a distribuição de consumo que produz o custo mínimo quando a potência total consumida é 1500 kW , nós precisamos resolver a seguinte sistema de equações (nas variáveis :
Encontre a distribuição de consumo que produz o custo mínimo quando a potência total consumida é 1500 kW .
Passo 1
Beleza, o exercício diz que uma indústria puxa 1500 kW de três usinas e cada usina tem um custo por hora
O que a gente quer: distribuir os 1500 kW (isto é, achar ) de modo a minimizar o custo total.
Conteúdo: método dos multiplicadores de Lagrange (igualar custos marginais) + um pouquinho de tentativa e erro para achar valores numéricos.
Passo 2
Primeiro, a teoria por trás. Para minimizar
C1(x1)+C2(x2)+C3(x3)
sob a restrição dCidxi(xi)=lambda, i=1,2,3, , usamos Lagrange e chegamos que, no ótimo, os custos marginais (derivadas) são iguais a uma mesma constante :
O sistema a resolver é: 0,3+2times10^-4x1+13,6times10^-9x1^3=lambda, 0,25+4times10^-4x2+12,9times10^-7x2^3=lambda, 0,19+10^-3x3+4,4times10^-7x3^3=lambda, x1+x2+x3=1500
Aí, teoricamente, isolamos como função de em cada equação e usamos a soma para achar .
Passo 4
Na prática, a gente faz tentativa e erro com .
Chuta um .
Para cada usina, resolve numericamente
(é só achar o que faz a derivada bater no chute).
Soma .
Se deu mais que 1500, abaixa ; se deu menos, aumenta .
Repete até a soma ficar em 1500.
Passo 5
Fazendo esse procedimento (vários chutes de x1approx978 kW, x2approx215 kW, x3approx307 kW, entre 0,5 e 15 e interpolando), chega-se a: , e daí
que somam 1500 kW.
Resposta
A distribuição de consumo que minimiza o custo é aproximadamente