Suponha que uma indústria consuma energia elétrica de três usinas diferentes. O custo de fornecimento em reais por hora como função da potência consumida em kW é dada pelas seguintes funções:
ll C1(x)=10+0,3 x+10^-4 x^2 & +3,4 cdot 10^-9 x^4 C2(x)=50+0,25 x+2 cdot 10^-4 x^2+4,3 cdot 10^-7 x^3, & C3(x)=500+0,19 x+5 cdot 10^-4 x^2 & +1,1 cdot 10^-7 x^4
Para calcula a distribuição de consumo que produz o custo mínimo quando a potência total consumida é 1500 kW , nós precisamos resolver a seguinte sistema de equações (nas variáveis x1, x2, x3, lambda):
ccccc 13,6 cdot 10^-9 x1^3 & +2 cdot 10^-4 x1 & +0,3 & = & lambda 12,9 cdot 10^-7 x2^3 & +4 cdot 10^-4 x2 & +0,25 & = & lambda 4,4 cdot 10^-7 x3^3 & +10^-3 x3 & +0,19 & = & lambda x1 & + & x2 & +x3 & = 1500
Encontre a distribuição de consumo que produz o custo mínimo quando a potência total consumida é 1500 kW .

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma indústria puxa 1500 kW de três usinas e cada usina tem um custo por hora
C1(x)&=10+0,3x+10^-4x^2+3,4times10^-9x^4, C2(x)&=50+0,25x+2times10^-4x^2+4,3times10^-7x^3, C3(x)&=500+0,19x+5times10^-4x^2+1,1times10^-7x^4
O que a gente quer: distribuir os 1500 kW (isto é, achar ) de modo a minimizar o custo total.
Conteúdo: método dos multiplicadores de Lagrange (igualar custos marginais) + um pouquinho de tentativa e erro para achar valores numéricos.

Passo 2

Primeiro, a teoria por trás. Para minimizar
C1(x1)+C2(x2)+C3(x3)
sob a restrição dCidxi(xi)=lambda, i=1,2,3, , usamos Lagrange e chegamos que, no ótimo, os custos marginais (derivadas) são iguais a uma mesma constante :
mais a condição .

Passo 3

Vamos escrever as derivadas (custos marginais):
C'1(x1)&=0,3+2cdot10^-4x1+4cdot3,4cdot10^-9x1^3 =0,3+2times10^-4x1+13,6times10^-9x1^3, C'2(x2)&=0,25+2times2cdot10^-4x2+3cdot4,3cdot10^-7x2^2 =0,25+4times10^-4x2+12,9times10^-7x2^3, C'3(x3)&=0,19+2times5cdot10^-4x3+4cdot1,1cdot10^-7x3^3 =0,19+10^-3x3+4,4times10^-7x3^3
O sistema a resolver é:
0,3+2times10^-4x1+13,6times10^-9x1^3=lambda, 0,25+4times10^-4x2+12,9times10^-7x2^3=lambda, 0,19+10^-3x3+4,4times10^-7x3^3=lambda, x1+x2+x3=1500
Aí, teoricamente, isolamos como função de em cada equação e usamos a soma para achar .

Passo 4

Na prática, a gente faz tentativa e erro com .
  1. Chuta um .
  2. Para cada usina, resolve numericamente

    (é só achar o que faz a derivada bater no chute).
  3. Soma .
  4. Se deu mais que 1500, abaixa ; se deu menos, aumenta .
  5. Repete até a soma ficar em 1500.

Passo 5

Fazendo esse procedimento (vários chutes de x1approx978 kW, x2approx215 kW, x3approx307 kW, entre 0,5 e 15 e interpolando), chega-se a:
, e daí
que somam 1500 kW.

Resposta

A distribuição de consumo que minimiza o custo é aproximadamente
boxedx1=978 kW, x2=215 kW, x3=307 kW

Exercícios relacionados