Encontre argumentos que provem que as seguintes proposições são falsas, se não encontrar, prove que são verdadeiras:
A soma de dois números racionais, é racional.
A soma de dois números racionais, é racional.
Passo 1
O enunciado quer saber se, dados dois números racionais, a soma deles também é racional. O conteúdo aqui é a propriedade de fechadura da adição no conjunto dos números racionais.
Passo 2
Lembrando a definição, dizemos que um número
é racional se existe um par de inteiros
e
com
tais que
Passo 3
Sejam dois racionais quaisquer
onde
e
,
. Então
Como
é inteiro e
é inteiro não-nulo, o quociente
é um número racional por definição.
Passo 4
Mostramos que, para quaisquer
, o valor
também pode ser escrito como quociente de dois inteiros com denominador não nulo. Logo, a soma permanece em
.
Resposta
A proposição é verdadeira: a soma de dois números racionais é sempre racional.