Encontre argumentos que provem que as seguintes proposições são falsas, se não encontrar, prove que são verdadeiras:
A soma de dois números racionais, é racional.

Passo 1

O enunciado quer saber se, dados dois números racionais, a soma deles também é racional. O conteúdo aqui é a propriedade de fechadura da adição no conjunto dos números racionais.

Passo 2

Lembrando a definição, dizemos que um número x é racional se existe um par de inteiros p e q com q\neq0 tais que
x = \frac{p}{q}.

Passo 3

Sejam dois racionais quaisquer
a = \frac{p}{q} \quad\text{e}\quad b = \frac{r}{s},
onde p,q,r,s\in\mathbb{Z} e q\neq0, s\neq0. Então
a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{p s + r q}{q s}.
Como p s + r q é inteiro e q s é inteiro não-nulo, o quociente
\frac{p s + r q}{q s}
é um número racional por definição.

Passo 4

Mostramos que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Q}, o valor a+b também pode ser escrito como quociente de dois inteiros com denominador não nulo. Logo, a soma permanece em \mathbb{Q}.

Resposta

A proposição é verdadeira: a soma de dois números racionais é sempre racional.

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