Encontre, através do método de Euller Aprimorado as soluções do p.v.i dado por:
c y^prime prime-y=e^x y(1)=1 y^prime(1)=0 x in[1 ; 1.2] com h=0.1

Passo 1

Beleza, o exercício pede para aproximar a solução do problema de valor inicial
y''-y = e^x, y(1)=1, y'(1)=0, xin[1,,1.2], h=0.1,
usando o método de Euler Aprimorado (também conhecido como Heun). O conteúdo é EDO de 2ª ordem, e o truque é:
  1. reduzir a EDO a um sistema de duas EDOs de 1ª ordem,
  2. aplicar o passo de preditor-corretor do Euler Aprimorado.

Passo 2

Primeiro transformamos em sistema:
definimos
y1 = y, y2 = y',
então
y1' = y2, y2' = y1 + e^x
As condições iniciais viram
y1(1)=1, y2(1)=0
O método de Euler Aprimorado pra sistema é:
  1. preditor (Euler explícito)
tilde yn = yn + h,f(xn,yn),
  1. corretor
yn+1 = yn + h2l(f(xn,yn)+f(xn+1,tilde yn)r)
Aqui é o lado direito do sistema.

Passo 3

Vamos anotar no ponto y1^0=1, y2^0=0 :
f1(x,y1,y2)=y2, f2(x,y1,y2)=y1+e^x
As funções são

Passo 4

  1. Avaliamos em f1^0 = y2^0 = 0, f2^0 = y1^0 + e^1 = 1 + e :
tilde y1 = y1^0 + 0.1cdot 0 = 1, tilde y2 = y2^0 + 0.1,(1+e) = 0.1,(1+e)
  1. Preditor para f1^rm pred = tilde y2 = 0.1(1+e), f2^rm pred = tilde y1 + e^1.1 = 1 + e^1.1 :
y1^1 = 1 + 0.12l(0 + 0.1(1+e)r) = 1 + 0.005,(1+e) approx 1.01859,
  1. Avaliamos o lado direito no preditor:
y2^1 = 0 + 0.12l((1+e)+(1+e^1.1)r) = 0.05,(2 + e + e^1.1) approx 0.38612
  1. Corretor (média):

Passo 5

  1. Em f1^1 = y2^1 approx 0.38612, f2^1 = y1^1 + e^1.1approx 1.01859 + e^1.1 :
tilde y1 = 1.01859 + 0.1cdot0.38612 approx 1.05720,
  1. Preditor para tilde y2 = 0.38612 + 0.1,(1.01859 + e^1.1) approx 0.78840 :
f1^rm pred = 0.78840, f2^rm pred = 1.05720 + e^1.2
y1^2 = 1.01859 + 0.12l(0.38612 + 0.78840r) approx 1.07732,
  1. Avaliamos no preditor:
y2^2 = 0.38612 + 0.12l((1.01859+e^1.1) + (1.05720+e^1.2)r) approx 0.80613
  1. Corretor final:

Resposta

As aproximações pelo Euler Aprimorado são
y(1.1)approx 1.01859, y'(1.1)approx 0.38612,
y(1.2)approx 1.07732, y'(1.2)approx 0.80613

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