Calcule um valor aproximado usando:
(i) A regra do trapézco e a regra 1 / 3 de Sumpsen;
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra 1 / 3 de Simpson generalizada com m=4
(iia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra do trapézio generalizada
(v) Usando a regra 1 / 3 de Simpson generalizada em iv) encontre o número de subdivisões.
integral0^4(1-e^-2 x) d x

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar
integral0^4l(1 - e^-2xr),dx
usando:
  1. Regra do trapézio simples e Regra 1/3 de Simpson simples.
  2. Regra do trapézio composta e 1/3 de Simpson composta com .
  3. Para cada estimativa lá de cima, achar um limite superior de erro.
  4. Descobrir quantas subdivisões (n) a Regra do Trapézio composta precisa pra ter erro .
  5. E depois quantas subdivisões a Regra 1/3 de Simpson composta precisa pra chegar nesse mesmo erro.
Conteúdo: integração numérica – fórmulas do trapézio e de Simpson, erros associados e escolha de .

Passo 2

(i) Trapézio simples ( T = b-a2,l[f(a)+f(b)r] ):
  • Fórmula: T = 4-02l[f(0)+f(4)r] = 2l[0 + (1 - e^-8)r] = 2l(1 - e^-8r) approx 2,(0,9996647) = 1,9993294
  • Aqui S = h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] , f(2)=1-e^-4approx0,9816844, f(4)=1-e^-8approx0,9996647 , S = 23l[0 + 4cdot0,9816844 + 0,9996647r] approx 23,(4,926403) = 3,2842687 , então
1/3 de Simpson simples (usa 2 subintervalos, ):
  • Fórmula:
  • Pts: , , .

Passo 3

(ii) Trapézio composto e Simpson composto com f(0)=0,; f(1)=1-e^-2approx0,8646647,; f(2)approx0,9816844,; f(3)approx0,9975212,; f(4)approx0,9996647 (ou seja Tc = hl[tfrac12f0 + f1 + f2 + f3 + tfrac12f4r] = 1l[0 + 0,8646647 + 0,9816844 + 0,9975212 + 0,4998324r] = 3,3437027 subintervalos iguais, Sc = h3l[f0 + 4(f1+f3) + 2f2 + f4r] = 13l[0 + 4(0,8646647+0,9975212)+2cdot0,9816844+0,9996647r] approx 3,4705825 ):
  • Pontos: .
Trapézio composto:
Simpson composto ( par e ):

Passo 4

(iia) Limites superiores de erro. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de
f(x)=1-e^-2x Longrightarrow f''(x)=-4e^-2x, f^(4)(x)=-16e^-2x
Em M2 = 4, M4 = 16 o máximo de |ET| <= (b-a)^312,n^2,M2 = 4^312cdot1^2,4 = 6412,4 = 21,3333 e |ES| <= (b-a)^52880,M4 = 4^52880,16 = 10242880,16 approx 5,6889 ocorre em |ETc| <= (b-a)^312,n^2,M2 = 6412cdot16,4 = 1,3333 , dando
|ESc| <= (b-a)^5180,n^4,M4 = 1024180cdot256,16 approx 0,3556
  1. Trapézio simples ( ), erro satisfaz
  1. Simpson simples ( ), erro satisfaz
  1. Trapézio composto ( ):
  1. Simpson composto ( ):

Passo 5

(iv) Queremos (b-a)^312,n^2,M2 < 10^-5 tal que, na Regra do Trapézio composta,
6412,n^2,4 < 10^-5 ;Longrightarrow; 25612,n^2 < 10^-5 ;Longrightarrow; n^2 > 25612cdot10^-5 =2,133,333,3 ;Longrightarrow; n > 1461,0
Substituindo n = 1461 , :
Como precisa ser inteiro, escolhemos

Passo 6

(v) Para Simpson composta queremos
(b-a)^5180,n^4,M4 < 10^-5
Com 1024180,n^4,16 < 10^-5 ;Longrightarrow; n^4 > 1024cdot16180cdot10^-5 =9,102,222,2 ;Longrightarrow; n > raiz[4]9,102,222,2approx55,0 , n = 56 :
Simpson pede par, então

Resposta

• Trapézio simples: (erro ≤ 21,3333)
• Simpson simples: (erro ≤ 5,6889)
• Trapézio composto ( ): (erro ≤ 1,3333)
• Simpson composto ( ): (erro ≤ 0,3556)
• Para erro < :
– Trapézio composta: subdivisões.
– Simpson composta: subdivisões.

Exercícios relacionados