Calcule um valor aproximado usando:
(i) A regra do trapézco e a regra
de Sumpsen;
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra
de Simpson generalizada com
(iia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra do trapézio generalizada
(v) Usando a regra
de Simpson generalizada em iv) encontre o número de subdivisões.
(i) A regra do trapézco e a regra
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra
(iia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
(v) Usando a regra
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente aproximar
usando:
- Regra do trapézio simples e Regra 1/3 de Simpson simples.
- Regra do trapézio composta e 1/3 de Simpson composta com
. - Para cada estimativa lá de cima, achar um limite superior de erro.
- Descobrir quantas subdivisões (n) a Regra do Trapézio composta precisa pra ter erro
. - E depois quantas subdivisões a Regra 1/3 de Simpson composta precisa pra chegar nesse mesmo erro.
Conteúdo: integração numérica – fórmulas do trapézio e de Simpson, erros associados e escolha de
.
Passo 2
(i) Trapézio simples (
):
- Fórmula:
- Aqui
, , , então
1/3 de Simpson simples (usa 2 subintervalos,
):
- Fórmula:
- Pts:
, , .
Passo 3
(ii) Trapézio composto e Simpson composto com
(ou seja
subintervalos iguais,
):
- Pontos:
.
Trapézio composto:
Simpson composto (
par e
):
Passo 4
(iia) Limites superiores de erro. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de
Em
o máximo de
e
ocorre em
, dando
- Trapézio simples (
), erro satisfaz
- Simpson simples (
), erro satisfaz
- Trapézio composto (
):
- Simpson composto (
):
Passo 5
(iv) Queremos
tal que, na Regra do Trapézio composta,
Substituindo
,
:
Como
precisa ser inteiro, escolhemos
Passo 6
(v) Para Simpson composta queremos
Com
,
:
Simpson pede
par, então
Resposta
• Trapézio simples:
(erro ≤ 21,3333)
• Simpson simples: (erro ≤ 5,6889)
• Trapézio composto ( ):
(erro ≤ 1,3333)
• Simpson composto ( ):
(erro ≤ 0,3556)
• Para erro < :
– Trapézio composta: subdivisões.
– Simpson composta: subdivisões.
• Simpson simples:
• Trapézio composto (
• Simpson composto (
• Para erro <
– Trapézio composta:
– Simpson composta: