Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
b) sum e^nn! x^n

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Encontre o centro e o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty e^nn!,x^n
Isso cai em “séries de potências” e a gente vai usar basicamente o teste da razão (ou raiz) para achar o raio de convergência . O centro é onde a série está “expandida” – aqui é óbvio que é em .

Passo 2

Primeiro lembre: uma série de potências genérica é
sumn=0^infty an (x - x0)^n
O centro é . No nosso caso vimos que a série está em , logo . Então o centro já está resolvido: é 0.

Passo 3

Agora, para o raio de convergência rho ;=;limntoinfty|an+1an|, e então R ;=;1rho (se rhoneq0,infty) , a forma mais direta é o teste da razão:
ã
Aqui . A ideia é ver como se comporta quando cresce.

Passo 4

Vamos calcular
an+1an = e^,n+1(n+1)!e^nn! = e^,n+1(n+1)!;n!e^n = en+1
Agora tomamos o limite quando rho = limntoinfty en+1 = 0 :

Passo 5

Como R ;=; 1rho ;=; 10 ;=; infty , o raio é
Isso significa que a série converge para todo .

Resposta

Centro de convergência: .
Raio de convergência: .

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