Verifique a convergência das seguintes séries
© sum 2^n+1n^n,

Passo 1

O enunciado pede para “verificar a convergencia” da série
sumn=1^infty 2^n+1n^n
Conteúdo: testes de convergência de séries (em especial, o teste da raiz ou o teste da razão).
O que vamos precisar: entender como aplicar o teste da raiz (ou da razão) para ver se o limite associado é menor que 1.

Passo 2

Vamos usar o teste da raiz. A ideia geral é: para L = limntoinfty raiz[n]an , definimos
Se , a série converge; se , ela diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui raiz[n]an = raiz[n]2^n+1;g/;raiz[n]n^n =2^n+1n;g/;n =2cdot2^1/n;g/;n . Então
raiz[n]an;longrightarrow;2n ;xrightarrow[ntoinfty];0
Como quando , o numerador tende a . Logo
Isso significa que o nosso .

Passo 4

Pelo teste da raiz, como , a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

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