Verifique a convergência das seguintes séries
(h) sum 2^nn!,

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se a série
sumn=0^infty 2^nn!
converge ou diverge.
Conteúdo da matéria: séries numéricas e, em especial, o teste da razão (ou d’Alembert).
O que vamos precisar:
  • Entender o que é L = limntoinfty |an+1an| < 1, (fatorial).
  • Saber o que é convergência de séries.
  • Aplicar o teste da razão, que diz que se então a série converge absolutamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 :
an = 2^nn!
No nosso caso, o termo geral é
an+1an
Agora, o teste da razão (d’Alembert) nos diz que a gente calcule
e veja o limite quando vai para infinito.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n+1(n+1)!2^nn! = 2^n+1(n+1)! times n!2^n = 2 cdot 2^n(n+1),n! times n!2^n = 2n+1
Então
|an+1an| = 2n+1
Agora calculamos o limite quando limntoinfty 2n+1 = 0 :

Passo 4

Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série

converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela converge de forma normal também.

Resposta

A série converge absolutamente (logo ela converge).

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