Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
a) sum(-1)^n raizn x^n

Passo 1

Beleza, temos a série de potências
sumn=0^infty(-1)^nraizn,x^n
Isso é conteúdo de “séries de potências” na disciplina de Análise. O que vamos precisar é:
  1. Identificar o centro da série (onde ela está “centrada”).
  2. Calcular o raio de convergência usando algum teste (razão ou raiz).

Passo 2

Primeiro, o centro da série. Uma série de potências genérica é
sum an,(x-c)^n,
e o ponto é o centro. Aqui temos .
Ou seja, .

Passo 3

Agora o raio de convergência R = 1limsupntoinftyraiz[n]|an|, . Vamos usar o Teste da Raiz, que diz:
raiz[n]|an| = raiz[n]raizn = n^1/(2n)
onde limntoinftyn^1/(2n) = 1 . Então
limsupntoinftyraiz[n]|an| = 1 Longrightarrow R = 11 = 1
Sabemos que
(porque e a raiz quadrada não muda isso no limite).
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Resposta

Centro de convergência: .
Raio de convergência: .

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