Verifique a convergência das séries
b) sum sen n+cos n2n^2

Passo 1

Opa! A questão pede pra gente verificar se a série

converge ou não. Isso é assunto de séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da comparação e o conceito de convergência absoluta. Não se preocupe se você nunca viu isso detalhadamente: vamos explicar cada pedacinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o valor absoluto do termo geral da série, que chamamos de an = sen n + cos n2n^2:

O que acontece se a gente tirar o valor absoluto? Pela desigualdade triangular,
E a gente sabe que e l|sen n + costfrac n2r|;<=;|sen n| + l|costfrac n2r|. Logo

Passo 3

Agora a gente usa o teste da comparação: se bn = 2n^2 e converge, então também converge absolutamente. No nosso caso escolhemos

Resta ver se converge. Aqui entra o famoso resultado das p-séries:
– Uma p-série é .
– Ela converge se e só se .
Como no nosso , temos convergente. Multiplicar por 2 não muda isso, então converge.

Passo 4

Chegando até aqui, provamos que
sumn=1^infty |an| <= sumn=1^infty 2n^2 < infty
Isso significa que nossa série converge absolutamente. E um teorema básico diz:
“se uma série converge absolutamente, então ela converge.”

Resposta

A série

converge absolutamente e, portanto, converge.

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