Determine o intervalo de convergência
c) sum n^3n+1(x-2)^n

Passo 1

Então, o enunciado manda descobrir o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty n^3n+1,(x-2)^n
Isso cai em “séries de potências” e a ferramenta que vamos usar é o teste da razão para séries (precisamos calcular limites de quocientes de termos).

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral sem o (x-2)^n:
an = n^3n+1
O teste da razão para séries de potências diz: a série converge se
limntoinfty |an+1,(x-2)^n+1an,(x-2)^n| < 1
Isso se simplifica para
limntoinfty |an+1an|;l|x-2r| < 1

Passo 3

Vamos achar
an+1an = (n+1)^3(n+1)+1n^3n+1 = (n+1)^3n+2;cdot;n+1n^3 = (n+1)^4n^3(n+2)
Para (n+1)^4n^3(n+2) = l(1+tfrac1nr)^3,n+1n+2 longrightarrow 1cdot1 = 1 ,
1cdot |x-2| < 1 Longrightarrow |x-2| < 1
Então o teste da razão fica

Passo 4

Agora testamos as bordas :
  1. . O termo geral vira
    , que NÃO vai a zero, logo a série diverge.
  2. . O termo geral vira
    , que também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed(1,,3)

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