Use uma fórmula de quadratura gaussiana adequada para calcular o valor exato da seguinte integral:
Resposta: 1=
I=integral-1^1 (x-k)^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra calcular, de forma exata, a integral
I=integral-1^1(x-k)^2raiz1-x^2,dx
usando uma fórmula de quadratura gaussiana adequada. O conteúdo aqui é a quadratura de Chebyshev (peso integral-1^1f(x)raiz1-x^2dx ;=;pinsumi=1^n fl(xir), xi=cos!l(2i-12npir) ). Vamos precisar:
  1. A fórmula de Gauss–Chebyshev tipo I:
  2. Escolher tal que a regra seja exata pra polinômio de grau até 2 (aqui basta , pois a quadratura é exata até grau ).

Passo 2

Vamos aplicar a regra com x1=cos!l(tfracpi4r)=tfracraiz22, x2=cos!l(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22 . Primeiro, achar os nós:
I =pi2l[f(x1)+f(x2)r] =pi2l[(tfracraiz22-k)^2+(-tfracraiz22-k)^2r]
Na fórmula, . Então

Passo 3

Agora só simplificar a soma:
(tfracraiz22-k)^2+(-tfracraiz22-k)^2 =l(tfrac12- raiz2,k +k^2r) +l(tfrac12+ raiz2,k +k^2r) =1+2k^2
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I=pi2(1+2k^2) =pil(k^2+tfrac12r)

Resposta

boxedI=pil(k^2+tfrac12r)

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