Considere a equação 
 , 
  pertencente ao intervalo 
 . Mostre que 
  tem um único zero em I.
Sugestão: 
  e 
 .
Sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A função é
e o intervalo é 
 .
Queremos mostrar que existe exatamente uma solução de  nesse intervalo.
O que vamos usar:
Queremos mostrar que existe exatamente uma solução de
O que vamos usar:
- Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano) pra garantir que exista ao menos uma raiz.
 - Critério de monotonicidade via derivada pra garantir que seja no máximo uma raiz.
 
Passo 2
Aplicando o Teorema de Bolzano: se 
  for contínua em 
  e 
 , então existe pelo menos uma raiz.
- A função 
e são contínuas em todo , logo é contínua em .  - Calculemos os valores nos extremos:Como 
e , o produto é negativo. 
Logo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em.  
Passo 3
Agora vamos mostrar que não pode existir mais de uma raiz, isto é, 
  é estritamente crescente em 
 .
- Derivada de
 - Pra 
temos 
e. 
EntãoDerivada positiva significa que é estritamente crescente em todo o intervalo. 
Assim,só pode cruzar o zero uma vez.  
Resposta
Há exatamente uma única solução da equação  em 
 .