Considere a equação f(x)=ln (x)-sen(x)=0, x pertencente ao intervalo I=[pi / 2,2.7]. Mostre que f tem um único zero em I.
Sugestão: f(pi / 2) cdot f(2.7)<0 e f^prime(x)=(1 / x)-cos (x)>0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A função é
e o intervalo é f(x) = ln(x) - sen(x), .
Queremos mostrar que existe exatamente uma solução de nesse intervalo.
O que vamos usar:
  1. Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano) pra garantir que exista ao menos uma raiz.
  2. Critério de monotonicidade via derivada pra garantir que seja no máximo uma raiz.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Bolzano: se fl(tfracpi2r) = ln!l(tfracpi2r) - sen!l(tfracpi2r) = ln!l(tfracpi2r) - 1 approx 0,4515 - 1 = -0,5485 < 0 for contínua em f(2.7) = ln(2.7) - sen(2.7) approx 0,9933 - 0,4274 = 0,5659 > 0 e , então existe pelo menos uma raiz.
  1. A função e são contínuas em todo , logo é contínua em .
  2. Calculemos os valores nos extremos:Como e , o produto é negativo.
    Logo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora vamos mostrar que não pode existir mais de uma raiz, isto é, f(x) = ln(x) - sen(x) Longrightarrow f'(x) = 1x - cos(x) é estritamente crescente em f'(x) = 1x - cos(x) ;>=; 0,3704 - 0 = 0,3704 > 0 .
  1. Derivada de
  2. Pra temos

    e .
    Então Derivada positiva significa que é estritamente crescente em todo o intervalo.
    Assim, só pode cruzar o zero uma vez.

Resposta

Há exatamente uma única solução da equação em .

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