Considere a equação
,
pertencente ao intervalo
. Mostre que
tem um único zero em I.
Sugestão:
e
.
Sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A função é
e o intervalo é
.
Queremos mostrar que existe exatamente uma solução de nesse intervalo.
O que vamos usar:
Queremos mostrar que existe exatamente uma solução de
O que vamos usar:
- Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano) pra garantir que exista ao menos uma raiz.
- Critério de monotonicidade via derivada pra garantir que seja no máximo uma raiz.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Bolzano: se
for contínua em
e
, então existe pelo menos uma raiz.
- A função
e são contínuas em todo , logo é contínua em . - Calculemos os valores nos extremos:Como
e , o produto é negativo.
Logo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em.
Passo 3
Agora vamos mostrar que não pode existir mais de uma raiz, isto é,
é estritamente crescente em
.
- Derivada de
- Pra
temos
e.
EntãoDerivada positiva significa que é estritamente crescente em todo o intervalo.
Assim,só pode cruzar o zero uma vez.
Resposta
Há exatamente uma única solução da equação em
.