Encontre critérios de divisibilidade de N por 3 e por 8 que dependa dos dígitos de N na base 9. O inteiro (447836), é divisível por 3 e 8?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede duas coisas:
  1. Achar critérios de divisibilidade de um inteiro por 3 e por 8, mas olhando só pros dígitos de quando ele está escrito em base 9.
  2. Verificar se o número decimal 447 836 é divisível por 3 e por 8 usando esses critérios.
Conteúdo envolvido: noções de congruência modular e conversão de base decimal para base 9. Não precisa saber nada avançado, só lembrar que “ ” significa que e deixam o mesmo resto em divisão por .

Passo 2

Critério de divisibilidade por 3 em base 9
  1. Qualquer N = ak9^k + ak-19^k-1 + cdots + a1 9 + a0, em base 9 é
9^iequiv0^iequiv0pmod3
onde cada N equiv a0cdot9^0 + sumi=1^k aicdot9^i equiv a0 + 0 equiv a0 pmod3 é um dígito de 0 a 8.
2) Como , então para ,
  1. Logo
Isto mostra que, em base 9, basta olhar o dígito das unidades :
se então é divisível por 3; caso contrário não é.

Passo 3

Critério de divisibilidade por 8 em base 9
  1. Agora note que 9^iequiv1^iequiv1pmod8 .
  2. Então para qualquer N = sumi=0^k ai9^i equiv sumi=0^k aicdot1 = sumi=0^k ai pmod8 ,
  1. Isso dá
Moral da história: em base 9, é divisível por 8 se, e só se, a soma de todos os dígitos for múltipla de 8.

Passo 4

Converter 447 836 para base 9
Fazemos divisões sucessivas por 9 e anotamos os restos:
447 836÷9=49 759 resto 5 ⇒ 447,83610 = (7,5,2,2,7,5)9
49 759÷9=5 528 resto 7 ⇒
5 528÷9=614 resto 2 ⇒
614÷9=68 resto 2 ⇒
68÷9=7 resto 5 ⇒
7÷9=0 resto 7 ⇒
Logo

Passo 5

Aplicando os critérios:
  • Divisibilidade por 3: olhamos só o dígito .
    5 não é múltiplo de 3, então não é divisível por 3.
  • Divisibilidade por 8: somamos todos os dígitos
    .
    Como deixa resto 4, não é múltiplo de 8, logo não é divisível por 8.

Resposta

O número 447 836 não é divisível nem por 3 nem por 8.

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