Encontre critérios de divisibilidade de
por 3 e por 8 que dependa dos dígitos de
na base 9. O inteiro (447836), é divisível por 3 e 8?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede duas coisas:
- Achar critérios de divisibilidade de um inteiro
por 3 e por 8, mas olhando só pros dígitos de quando ele está escrito em base 9. - Verificar se o número decimal 447 836 é divisível por 3 e por 8 usando esses critérios.
Conteúdo envolvido: noções de congruência modular e conversão de base decimal para base 9. Não precisa saber nada avançado, só lembrar que “
” significa que
e
deixam o mesmo resto em divisão por
.
Passo 2
Critério de divisibilidade por 3 em base 9
- Qualquer
em base 9 é
onde cada
é um dígito de 0 a 8.
2) Como , então para
,
2) Como
- Logo
Isto mostra que, em base 9, basta olhar o dígito das unidades
:
se então
é divisível por 3; caso contrário não é.
se
Passo 3
Critério de divisibilidade por 8 em base 9
- Agora note que
. - Então para qualquer
,
- Isso dá
Moral da história: em base 9,
é divisível por 8 se, e só se, a soma de todos os dígitos
for múltipla de 8.
Passo 4
Converter 447 836 para base 9
Fazemos divisões sucessivas por 9 e anotamos os restos:
447 836÷9=49 759 resto 5 ⇒
49 759÷9=5 528 resto 7 ⇒
5 528÷9=614 resto 2 ⇒
614÷9=68 resto 2 ⇒
68÷9=7 resto 5 ⇒
7÷9=0 resto 7 ⇒
Fazemos divisões sucessivas por 9 e anotamos os restos:
447 836÷9=49 759 resto 5 ⇒
49 759÷9=5 528 resto 7 ⇒
5 528÷9=614 resto 2 ⇒
614÷9=68 resto 2 ⇒
68÷9=7 resto 5 ⇒
7÷9=0 resto 7 ⇒
Logo
Passo 5
Aplicando os critérios:
- Divisibilidade por 3: olhamos só o dígito
.
5 não é múltiplo de 3, então não é divisível por 3. - Divisibilidade por 8: somamos todos os dígitos
.
Comodeixa resto 4, não é múltiplo de 8, logo não é divisível por 8.
Resposta
O número 447 836 não é divisível nem por 3 nem por 8.