Prove que um número é divisível por 4 se e somente se o número formado por seus dígitos de dezena e unidade é divisível por 4.
Passo 1
Beleza, a ideia aqui é mostrar que, em base decimal, só importa o “resto” que fica nos últimos dois dígitos para saber se um número é divisível por 4. O conteúdo que a gente vai usar é o algorítmo da divisão (divisão com quociente e resto) e uma propriedade simples de divisibilidade: 100 é múltiplo de 4. Não precisa ter visto teoria aprofundada de módulo, a gente vai fazer na base da lógica mesmo.
Passo 2
Vamos escrever um número inteiro qualquer
na forma
onde
é o quociente da divisão de
por 100 e
é o resto dessa divisão. Por definição de resto na divisão por 100, temos
e exatamente
é o número formado pelos dígitos das dezenas e das unidades de
. Em notação decimal, se os dois últimos dígitos de
são
(dezena) e
(unidade), então
Passo 3
Agora, note que
ou seja,
é sempre divisível por 4. Logo, quando a gente divide
por 4, o resto dessa divisão é o mesmo que o resto de dividir
por 4, porque a parte
“sai” certinha na divisão. Em símbolos:
Isso significa que
é divisível por 4 (isto é, resto zero) se e somente se
é divisível por 4. Mas
é justamente o número formado pelos dígitos de dezena e unidade.
Resposta
Um número inteiro
é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos (isto é, o resto
na divisão de
por 100) for divisível por 4.