Prove que um número é divisível por 4 se e somente se o número formado por seus dígitos de dezena e unidade é divisível por 4.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é mostrar que, em base decimal, só importa o “resto” que fica nos últimos dois dígitos para saber se um número é divisível por 4. O conteúdo que a gente vai usar é o algorítmo da divisão (divisão com quociente e resto) e uma propriedade simples de divisibilidade: 100 é múltiplo de 4. Não precisa ter visto teoria aprofundada de módulo, a gente vai fazer na base da lógica mesmo.

Passo 2

Vamos escrever um número inteiro qualquer n = 100q + r, na forma
0 <= r <= 99,
onde r = 10a + b é o quociente da divisão de por 100 e é o resto dessa divisão. Por definição de resto na divisão por 100, temos
e exatamente é o número formado pelos dígitos das dezenas e das unidades de . Em notação decimal, se os dois últimos dígitos de são (dezena) e (unidade), então

Passo 3

Agora, note que
100q = 4cdot(25q),
ou seja, nequiv 100q + r pmod 4 Longrightarrow nequiv r pmod 4 é sempre divisível por 4. Logo, quando a gente divide por 4, o resto dessa divisão é o mesmo que o resto de dividir por 4, porque a parte “sai” certinha na divisão. Em símbolos:
Isso significa que é divisível por 4 (isto é, resto zero) se e somente se é divisível por 4. Mas é justamente o número formado pelos dígitos de dezena e unidade.

Resposta

Um número inteiro é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos (isto é, o resto na divisão de por 100) for divisível por 4.

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