Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
lll5 & 2 & 1 3 & 1 & 1 1 & 1 & 3

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é a fatoração da matriz
A = 5 & 2 & 1 3 & 1 & 1 1 & 1 & 3
na forma , onde
  • é triangular inferior com “1” na diagonal,
  • é triangular superior.
Conteúdo: decomposição LU via eliminação de Gauss (método de Doolittle).
O que vamos precisar:
  1. Calcular multiplicadores .
  2. Aplicar operações linha para zerar abaixo dos pivôs e obter .
  3. Preencher com esses multiplicadores.

Passo 2

Primeiro pivô é linha2' = linha2 - l21,linha1 Rightarrow (3,1,1)-tfrac35(5,2,1)=(0,;1-tfrac65,;1-tfrac35) =(0,-tfrac15,tfrac25), .
  • Calcula linha3' = linha3 - l31,linha1 Rightarrow (1,1,3)-tfrac15(5,2,1)=(0,;1-tfrac25,;3-tfrac15) =(0,tfrac35,tfrac145) , pra zerar o elemento u11=5, u12=2, u13=1, u22=-tfrac15, u23=tfrac25 .
  • Calcula , pra zerar o elemento .
Agora atualizamos as linhas 2 e 3:
Isso nos dá os primeiros elementos de :

Passo 3

O próximo pivô é linha3'' = linha3' - l32,linha2' = l(0,tfrac35,tfrac145r) -(-3),(0,-tfrac15,tfrac25) =(0,0,tfrac145+3cdottfrac25) =(0,0,4) .
  • Calcula .
Agora ajusta a linha 3:
Logo .

Resposta

Reunindo tudo, temos
L = 1 & 0 & 0[6pt] tfrac35 & 1 & 0[6pt] tfrac15 & -3 & 1 e U = 5 & 2 & 1[3pt] 0 & -tfrac15 & tfrac25[3pt] 0 & 0 & 4 ,
e de fato .

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