Encontre a decomposição
das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é a fatoração da matriz
na forma
, onde
-
é triangular inferior com “1” na diagonal, -
é triangular superior.
Conteúdo: decomposição LU via eliminação de Gauss (método de Doolittle).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular multiplicadores
. - Aplicar operações linha para zerar abaixo dos pivôs e obter
. - Preencher
com esses multiplicadores.
Passo 2
Primeiro pivô é
linha2' = linha2 - l21,linha1 Rightarrow (3,1,1)-tfrac35(5,2,1)=(0,;1-tfrac65,;1-tfrac35) =(0,-tfrac15,tfrac25), .
- Calcula
, pra zerar o elementolinha3' = linha3 - l31,linha1 Rightarrow (1,1,3)-tfrac15(5,2,1)=(0,;1-tfrac25,;3-tfrac15) =(0,tfrac35,tfrac145) .u11=5, u12=2, u13=1, u22=-tfrac15, u23=tfrac25 - Calcula
, pra zerar o elemento .
Agora atualizamos as linhas 2 e 3:
Isso nos dá os primeiros elementos de
:
Passo 3
O próximo pivô é
linha3'' = linha3' - l32,linha2' = l(0,tfrac35,tfrac145r) -(-3),(0,-tfrac15,tfrac25) =(0,0,tfrac145+3cdottfrac25) =(0,0,4) .
- Calcula
.
Agora ajusta a linha 3:
Logo
.
Resposta
Reunindo tudo, temos
e de fato
.