Seja S a superfície de nível 0 de g(x, y, z)=x^2+y^2-z^2-4.
Ache a equação da reta normal que passa por esse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que
S é a superfície de nível zero de
g(x,y,z)=x^2 + y^2 - z^2 - 4 = 0
e pede para achar a equação da reta normal a S que passa por um ponto sobre S.
Conteúdo que vamos usar:
  • Gradiente de para achar a direção normal.
  • Equação paramétrica de reta a partir de um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, lembra que a reta normal à superfície em nabla g(x,y,z) = l(partial gpartial x,,partial gpartial y,,partial gpartial zr) = (2x,,2y,,-2z) tem direção dada pelo gradiente de avaliado em . O gradiente é

Passo 3

Em nabla g(P) = (2x0,,2y0,,-2z0) , o vetor normal fica
x0^2 + y0^2 - z0^2 - 4 = 0
Além disso, como está em S, vale

Passo 4

A equação paramétrica de uma reta que passa em ell(t) = P + t,vec v e tem vetor diretor x(t) = x0 + t,(2x0), y(t) = y0 + t,(2y0), z(t) = z0 + t,(-2z0) é
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Resposta

A reta normal à superfície boxed x = x0 + 2x0,t, y = y0 + 2y0,t, z = z0 - 2z0,t, com x0^2+y0^2-z0^2-4=0 em é

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