Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado
. Encontre também o vetor posição
no valor determinado de
.
Passo 1
Beleza, rapaziada! O enunciado manda a gente achar, pra curva dada por
no ponto onde
:
- o vetor posição
avaliado em ; - a equação da reta tangente a essa curva naquele ponto.
O conteúdo aqui é parametrização de curva e derivada vetorial (pra achar a direção da reta). Vamos precisar lembrar:
- Como montar o vetor posição
. - Como derivar e
(cadeia com ). - Como usar
como vetor tangente e escrever a reta.
Passo 2
Primeiro, montamos o vetor posição genérico:
Aí é só substituir
:
Logo
Passo 3
Agora a derivada vetorial
. Usamos a regra da cadeia:
- .
- .
Então
Em
:
, .
Passo 4
Esse
é o vetor direcional da reta tangente.
Podemos escrever a reta em forma cartesiana:
Podemos escrever a reta em forma cartesiana:
- Declara o ponto
. - Declara a inclinação
. - Usa
:
Se você quiser simplificar:
Resposta
Vetor posição em
:
Equação da reta tangente: