Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
x=sen(2 pi t), y=cos (2 pi t), t=-16

Passo 1

Beleza, rapaziada! O enunciado manda a gente achar, pra curva dada por
no ponto onde x = sen(2pi t), y = cos(2pi t), :
  1. o vetor posição avaliado em ;
  2. a equação da reta tangente a essa curva naquele ponto.
O conteúdo aqui é parametrização de curva e derivada vetorial (pra achar a direção da reta). Vamos precisar lembrar:
  • Como montar o vetor posição .
  • Como derivar e (cadeia com ).
  • Como usar como vetor tangente e escrever a reta.

Passo 2

Primeiro, montamos o vetor posição genérico:
Aí é só substituir r(t) = lang<= sen(2pi t), ; cos(2pi t)rang<= :
Logo
sen!(2picdot(-tfrac16))=sen(-tfracpi3)=-tfracraiz32, cos!(2picdot(-tfrac16))=cos(-tfracpi3)=tfrac12

Passo 3

Agora a derivada vetorial r'(t) = lang<= 2picos(2pi t),; -2pisen(2pi t)rang<= . Usamos a regra da cadeia:
  • .
  • .
    Então
Em r'l(-tfrac16r) = lang<= 2picdottfrac12,; -2picdot(-tfracraiz32)rang<= = lang<= pi,;piraiz3rang<= :
, .

Passo 4

Esse y-tfrac12 = raiz3l(x + tfracraiz32r) é o vetor direcional da reta tangente.
Podemos escrever a reta em forma cartesiana:
  1. Declara o ponto y = raiz3,x + 2 .
  2. Declara a inclinação .
  3. Usa :
Se você quiser simplificar:

Resposta

Vetor posição em boxed rl(-tfrac16r) = lang<= -tfracraiz32,;tfrac12rang<= :
boxedy - tfrac12 = raiz3l(x + tfracraiz32r) (ou simplificando: y=raiz3,x+2)
Equação da reta tangente:

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