Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
x=t, y=raizt, t=14

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a curva é dada por
x = t, y = raizt,
e o parâmetro vale .
Precisamos encontrar duas coisas:
  1. a reta tangente à curva nesse ponto;
  2. o vetor‐posição avaliado em .
    O conteúdo aqui é geometria analítica em paramétricas e derivadas para achar tangente.

Passo 2

Primeiro, o vetor‐posição geral da curva em função de r(t) = lang<= x(t),,y(t)rang<= = lang<= t,,raiztrang<= é
rl(tfrac14r) = llang<= tfrac14,;raiztfrac14rrang<= = llang<= tfrac14,;tfrac12rrang<=
Agora avalia em :

Passo 3

Para achar a reta tangente precisamos da inclinação (coeficiente angular).
Calculamos as derivadas:
dxdt = 1, dydt = ddtl(t^1/2r) = tfrac12,t^-1/2 = 12raizt
A inclinação da tangente é
m = dydx = (dy/dt)(dx/dt) = 1/(2raizt)1 = 12raizt
Em m = 12raiz1/4 = 12cdot(1/2) = 1 isso vira

Passo 4

Agora que temos o ponto y - y0 = m,(x - x0) e a inclinação y - tfrac12 = 1l(x - tfrac14r) Longrightarrow y = x - tfrac14 + tfrac12 = x + tfrac14 , usamos a forma ponto-reta:
Substituindo:

Resposta

Vetor-posição no ponto:
rl(tfrac14r) = llang<= tfrac14,;tfrac12rrang<=
Equação da reta tangente:
boxedy = x + tfrac14

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