Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
x=2 cos (t), y=2 sen(t), t=pi4

Passo 1

Beleza, o exercício diz: temos a curva parametrizada por
e pede duas coisas no ponto em que x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sen(t) :
  1. A equação da reta tangente à curva nesse ponto.
  2. O vetor posição avaliado em .
Conteúdo envolvido: curva paramétrica, derivadas para achar a inclinação da reta tangente, e avaliação de funções trigonométricas. Vamos precisar de:
  • A função vetor posição .
  • As derivadas e para achar a inclinação .
  • Avaliar tudo em .

Passo 2

Primeiro monta a função vetor posição:
Agora avalia em r(t) = lang<= x(t),,y(t)rang<= = lang<= 2cos(t),,2sen(t)rang<= :
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cos!l(tfracpi4r) = tfracraiz22, sen!l(tfracpi4r) = tfracraiz22,

Passo 3

Agora a reta tangente. Primeiro precisamos das derivadas:
A inclinação da reta em função de x'(t) = ddtl(2cos tr) = -2sen t, y'(t) = ddtl(2sen tr) = 2cos t é
Em m(t) = dydx = y'(t)x'(t) = 2cos t-2sen t = -cot t :
m!l(tfracpi4r) = -cot!l(tfracpi4r) = -1

Passo 4

Com o ponto y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - raiz2 = -1,(x - raiz2) e a inclinação y = -x + raiz2 + raiz2 Longrightarrow y = -x + 2raiz2 , a equação da reta na forma ponto-inclinação é
Só reorganizar pra forma mais amigável:

Resposta

Vetor posição em r!l(tfracpi4r) = lang<= raiz2,,raiz2rang<= :
boxedy = -x + 2raiz2
Equação da reta tangente:

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