Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado
. Encontre também o vetor posição
no valor determinado de
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: temos a curva parametrizada por
e pede duas coisas no ponto em que
:
- A equação da reta tangente à curva nesse ponto.
- O vetor posição
avaliado em .
Conteúdo envolvido: curva paramétrica, derivadas para achar a inclinação da reta tangente, e avaliação de funções trigonométricas. Vamos precisar de:
- A função vetor posição
. - As derivadas
e para achar a inclinação . - Avaliar tudo em
.
Passo 2
Primeiro monta a função vetor posição:
Agora avalia em
:
logo
Passo 3
Agora a reta tangente. Primeiro precisamos das derivadas:
A inclinação da reta em função de
é
Em
:
Passo 4
Com o ponto
e a inclinação
, a equação da reta na forma ponto-inclinação é
Só reorganizar pra forma mais amigável:
Resposta
Vetor posição em
:
Equação da reta tangente: