Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(t+1, t^2-1,2 t) ; t=1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas sobre a curva
r(t) = (,t+1,;t^2-1,;2t,) no instante t=1:
  1. A posição do ponto, ou seja r(1).
  2. A reta tangente ali, o que a gente faz derivando r(t) pra achar a direção e usando o ponto.
    Matéria: cálculo de funções vetoriais – derivada dá vetor tangente, depois monta a reta.

Passo 2

Calcular a posição no tempo t=1.
Aplicando t=1 em cada componente de r(t):
r(1) = l(1+1,;1^2-1,;2cdot1r) = (2,,0,,2)

Passo 3

Agora a gente precisa do vetor direção da reta, que é r'(t) (derivada componente a componente):
r'(t) = l(,tfracddt(t+1),;tfracddt(t^2-1),;tfracddt(2t)r) = (1,;2t,;2)
Em t=1:
r'(1) = (1,;2cdot1,;2) = (1,,2,,2)

Passo 4

Com o ponto P = r(1)=(2,0,2) e direção v = r'(1)=(1,2,2), a reta tangente em forma vetorial é
L(s) = P + s,v = (2,0,2) + s,(1,2,2)
Se quiser em forma paramétrica:
x(s) = 2 + s, y(s) = 0 + 2s, z(s) = 2 + 2s

Resposta

  • Vetor posição em t=1: r(1)=(2,0,2).
  • Equação da reta tangente: L(s)=(2,0,2)+s,(1,2,2), (ou x=2+s,;y=2s,;z=2+2s).

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