Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado . Encontre também o vetor posição no valor determinado de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas: (1) o vetor posição avaliado em e (2) a equação da reta tangente à curva paramétrica dada por
no ponto correspondente a .
O conteúdo de matemática envolvido aqui é: curvas paramétricas, derivadas de vetores (para achar o vetor tangente) e equação vetorial de reta.
Pra resolver, vamos precisar:
Avaliar diretamente .
Calcular a derivada , que é o vetor tangente.
Avaliar .
Montar a equação da reta na forma .
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor posição no ponto . Basta substituir em cada componente de :
Isso é só “colocar” onde tinha .
Passo 3
Agora precisamos do vetor tangente, que é a derivada componente a componente de .
No nosso caso:
⇒ .
⇒ .
⇒ .
Logo,
Aí avaliamos em :
Passo 4
Pra montar a reta tangente, usamos a forma vetorial
onde é um parâmetro da reta. Substituindo os valores que achamos:
Em coordenadas separadas, fica
Resposta
Vetor posição em r(1)=l(2,;tfrac1raiz2,;tfrac13r) :