Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(1+t, t^2raiz2, t^33) ; t=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas: (1) o vetor posição r(t)=l(1+t,;t^2raiz2,;t^33r) avaliado em e (2) a equação da reta tangente à curva paramétrica dada por
no ponto correspondente a .
O conteúdo de matemática envolvido aqui é: curvas paramétricas, derivadas de vetores (para achar o vetor tangente) e equação vetorial de reta.
Pra resolver, vamos precisar:
  • Avaliar diretamente .
  • Calcular a derivada , que é o vetor tangente.
  • Avaliar .
  • Montar a equação da reta na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor posição no ponto r(1) = l(1+1,;1^2raiz2,;1^33r) = l(2,;1raiz2,;13r) . Basta substituir em cada componente de :
Isso é só “colocar” onde tinha .

Passo 3

Agora precisamos do vetor tangente, que é a derivada componente a componente de r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) Longrightarrow r'(t)=l(x'(t),y'(t),z'(t)r) .
r'(t)=l(1,;2traiz2,;t^2r)
No nosso caso:
  • r'(1)=l(1,;2cdot1raiz2,;1^2r) = l(1,;2raiz2,;1r) = l(1,;raiz2,;1r) .
  • .
  • .
    Logo,
Aí avaliamos em :

Passo 4

Pra montar a reta tangente, usamos a forma vetorial
L(s)=r(1)+s,r'(1),
onde L(s)=l(2,;tfrac1raiz2,;tfrac13r) + s,l(1,;raiz2,;1r) é um parâmetro da reta. Substituindo os valores que achamos:
x(s)=2 + s, y(s)=tfrac1raiz2 + raiz2,s, z(s)=tfrac13 + s
Em coordenadas separadas, fica

Resposta

Vetor posição em r(1)=l(2,;tfrac1raiz2,;tfrac13r) :
boxedL(s)=l(2,tfrac1raiz2,tfrac13r) + s,(1,raiz2,1)
Equação da reta tangente no ponto :

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