Encontre o valor exato de cada expressão
ln (ln e^-10)

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular a expressão
lnl(ln(e^-10)r)
Isso é um problema de logaritmos naturais e, no caso, vamos acabar entrando num lance de logaritmo de número negativo, o que nos leva para a parte de números complexos. Então os conteúdos que vamos usar são:
  • Propriedade básica do logaritmo: .
  • Noção de domínio do logaritmo real (não pode logaritmar número negativo).
  • Extensão do logaritmo para números complexos no ramo principal, onde .

Passo 2

Primeiro, simplifica o ln(e^-10) = -10 usando a propriedade ln(ln(e^-10)) = ln(-10) :
Então a nossa expressão vira

Passo 3

A gente sabe que, em números reais, ln(z) = ln|z| + iArg(z), só está definido para . Aqui apareceu , ou seja, estamos tentando logaritmar um número negativo. Para contornar isso, passamos ao logaritmo complexo. No ramo principal do logaritmo complexo, vale a fórmula
onde é o argumento principal de .

Passo 4

No caso ln(-10) = ln(10) + ipi :
  • O módulo .
  • O argumento principal de (no plano complexo) é (180 graus).
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Resposta

boxedlnl(ln(e^-10)r) = ln(-10) = ln(10) + ipi

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