Encontre a fatoração de Cholesky da matriz:
Passo 1
Vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a fatoração de Cholesky da matriz dada. Isso significa que vamos decompor a matriz $ A $ em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e a sua transposta $ L^T $, de forma que $ A = L \cdot L^T $. Para isso, precisamos lembrar que a matriz $ A $ deve ser simétrica e positiva definida, o que é o caso aqui. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz $ L $ tem a seguinte forma triangular inferior:
Aqui, os $ l_{ij} $ são os elementos que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar $ L $ pela sua transposta $ L^T $ e igualar ao que foi dado na matriz $ A $:
Igualando aos elementos de $ A $:
Passo 4
Vamos resolver essas equações uma por uma. Começando pela primeira:
Passo 5
Com $ l_{11} = 2 $, usamos a segunda equação:
Passo 6
Agora, da terceira equação:
Passo 7
Usando a quarta equação:
Passo 8
Com $ l_{21} = 6 $, $ l_{31} = -8 $ e $ l_{22} = 1 $, aplicamos a quinta equação:
Passo 9
Finalmente, usamos a última equação:
Resposta
A fatoração de Cholesky da matriz $ A $ é: