Encontre a fatoração de Cholesky da matriz:
A=[ccc 4 & 12 & -16 12 & 37 & -43 -16 & -43 & 98 ]

Passo 1

Vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a fatoração de Cholesky da matriz dada. Isso significa que vamos decompor a matriz $ A $ em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e a sua transposta $ L^T $, de forma que $ A = L \cdot L^T $. Para isso, precisamos lembrar que a matriz $ A $ deve ser simétrica e positiva definida, o que é o caso aqui. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz $ L $ tem a seguinte forma triangular inferior:
L
Aqui, os $ l_{ij} $ são os elementos que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar $ L $ pela sua transposta $ L^T $ e igualar ao que foi dado na matriz $ A $:
L
Igualando aos elementos de $ A $:
L^T

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma por uma. Começando pela primeira:
l11^2 = 4 Rightarrow l11 = 2 (considerando l11 > 0)

Passo 5

Com $ l_{11} = 2 $, usamos a segunda equação:
l11 = 2

Passo 6

Agora, da terceira equação:
2 cdot l31 = -16 Rightarrow l31 = -8

Passo 7

Usando a quarta equação:
6^2 + l22^2 = 37 Rightarrow 36 + l22^2 = 37 Rightarrow l22^2 = 1 Rightarrow l22 = 1

Passo 8

Com $ l_{21} = 6 $, $ l_{31} = -8 $ e $ l_{22} = 1 $, aplicamos a quinta equação:
l21 = 6

Passo 9

Finalmente, usamos a última equação:
(-8)^2 + 5^2 + l33^2 = 98 Rightarrow 64 + 25 + l33^2 = 98 Rightarrow l33^2 = 9 Rightarrow l33 = 3

Resposta

A fatoração de Cholesky da matriz $ A $ é:
A

Exercícios relacionados