Determine a fatoração de Cholesky da matriz tridiagonal:
A=[ccc 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, o problema é: “Determinar a fatoração de Cholesky da matriz
A= 2 & -1 & 0 [4pt] -1 & 2 & -1 [4pt] 0 & -1 & 2
Isso faz parte do assunto “Decomposição em Cholesky” para matrizes simétricas e definidas positivas. Vamos precisar lembrar que uma matriz A = L,L^T, simétrica e definida positiva pode ser escrita como
ljj=raizajj-sumk=1^j-1ljk^2, lij=1ljjl(aij-sumk=1^j-1likljkr) (i>j)
onde é triangular inferior, e usar as fórmulas

Passo 2

Primeiro montamos L= l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 0 & l32 & l33 com simbolos genéricos, sabendo que l11=raiza11=raiz2 faz l21=a21l11 =-1raiz2 =-1raiz2 :
  • Calcular :
  • Calcular (usando ):

Passo 3

Agora vamos achar l22 =raiza22-l21^2 =raiz2-l(-tfrac1raiz2r)^2 =raiz2-tfrac12 =raiztfrac32 e l32 =a32l22 =-1raiztfrac32 =-,raiztfrac23 :
  • Para :
  • Para (usando ):

Passo 4

Falta só l33 =raiza33-l32^2 =raiz2-l(-raiztfrac23r)^2 =raiz2-tfrac23 =raiztfrac43 :

Resposta

A fatoração de Cholesky L = raiz2 & 0 & 0[6pt] -dfrac1raiz2 & raiztfrac32 & 0[6pt] 0 & -raiztfrac23 & raiztfrac43 é dada por

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