Beleza, vamos resolver a fatoração LU dessa matriz A. A fatoração LU significa escrever a matriz original como o produto de uma matriz triangular inferior (L) e uma matriz triangular superior (U). Para isso, precisamos usar o método de eliminação de Gauss, que envolve operações nas linhas da matriz para chegar a uma forma triangular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A:
A = 2 & 1 & 1 4 & -6 & 0 -2 & 7 & 2
Nossa meta é transformá-la na forma LU, onde L é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e U é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento a11 = 2. Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Para a segunda linha:
Multiplicamos o primeiro pivô por 2 para igualar a21: 2 times 2 = 4.
Subtraímos isso da segunda linha: 4 - 4 = 0, -6 - 2 = -8, 0 - 2 = -2.
Para a terceira linha:
Multiplicamos o primeiro pivô por -1: 2 times (-1) = -2.
Subtraímos isso da terceira linha: -2 - (-2) = 0, 7 - (-1) = 8, 2 - (-1) = 3.
Agora, a matriz fica:
2 & 1 & 1 0 & -8 & -2 0 & 8 & 3
Passo 4
Agora, vamos para o segundo pivô, que é a22 = -8. Vamos eliminar o elemento abaixo dele na segunda coluna.
Multiplicamos o segundo pivô por -1: -8 times (-1) = 8.
Subtraímos isso da terceira linha: 8 - 8 = 0, 3 - (-2) = 5.
A matriz agora fica:
2 & 1 & 1 0 & -8 & -2 0 & 0 & 5
Passo 5
Agora, temos a matriz U na forma triangular superior:
U = 2 & 1 & 1 0 & -8 & -2 0 & 0 & 5
Para encontrar a matriz L, vamos registrar os multiplicadores usados nas operações de eliminação:
Para eliminar a21, usamos o multiplicador m21 = 42 = 2.
Para eliminar a31, usamos o multiplicador m31 = -22 = -1.
Para eliminar a32, usamos o multiplicador m32 = 8-8 = -1.