Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema 4 times 4 :
l x1+2 x2-x3+x4=4 2 x1-x2+3 x3+2 x4=5 3 x1+x2+x3-x4=7 x1+4 x2-2 x3+3 x4=6

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um sistema de 4 equações e 4 incógnitas. A matéria envolvida é eliminação de Gauss (operações elementares em linhas de uma matriz aumentada) e, no segundo caso, pivoteamento parcial (trocar linhas para usar sempre o maior pivô em módulo). Vamos montar a matriz aumentada do sistema, fazer operações de linha para chegar numa matriz triangular superior e depois voltar substituindo (substituição regressiva). Primeiro sem pivoteamento, depois com pivoteamento parcial.

Passo 2

Eliminação de Gauss SEM pivoteamento
  1. Escrevo a matriz aumentada
[cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 2 & -1& 3 & 2 & 5 3 & 1 & 1 & -1& 7 1 & 4 & -2& 3 & 6 ]
  1. Uso o pivô [cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & -5& 4 & -4& -5 0 & 2 & -1 & 2 & 2 ] e zero abaixo dele:

  • Isso dá

Passo 3

Continuo a eliminação SEM pivoteamento
  1. Pivô agora é [cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & 0 & -1 & -4& -2 0 & 0 & 1 & 2 & 0.8 ] .
  • [cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & 0 & -1 & -4& -2 0 & 0 & 0 & -2& -1.2 ] (porque -2,x4=-1.2implies x4=0.6, -1,x3 -4(0.6)=-2implies -x3-2.4=-2implies x3=-0.4, -5,x2+5(-0.4)= -3implies -5x2-2=-3implies x2=0.2, x1+2(0.2)-(-0.4)+0.6=4implies x1=2.6 )
  • (fator = )
    Fica
  1. Pivô .
  1. Agora substituição regressiva:

Passo 4

Eliminação de Gauss COM pivoteamento parcial
  1. Matriz aumentada inicial
[cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 2 & -1& 3 & 2 & 5 3 & 1 & 1 & -1& 7 1 & 4 & -2 & 3 & 6 ]
  1. Na coluna 1, o maior em valor absoluto é 3 (linha 3), troco linha 1⇄3:
[cccc|c 3 & 1 & 1 & -1& 7 2 & -1& 3 & 2 & 5 1 & 2 & -1 & 1 & 4 1 & 4 & -2 & 3 & 6 ]
  1. Elimino abaixo de [cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & -tfrac53 & tfrac73 & tfrac83 & tfrac13 0 & tfrac53 & -tfrac43& tfrac43 & tfrac53 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103& tfrac113 ] com fatores :

Passo 5

Continuando pivoteamento parcial
  1. Na coluna 2 (linhas 2–4), o maior módulo é [cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103& tfrac113 0 & -tfrac53 & tfrac73 & tfrac83 & tfrac13 0 & tfrac53 & -tfrac43& tfrac43 & tfrac53 ] (linha 4), troco linha 2⇄4:
[cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103 & tfrac113 0 & 0 & tfrac1411& tfrac4611& 2 0 & 0 & -tfrac311& -tfrac211& 0 ]
  1. Elimino abaixo de [cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103 & tfrac113 0 & 0 & tfrac1411& tfrac4611& 2 0 & 0 & 0 & tfrac57& tfrac37 ] com fatores tfrac57x4=tfrac37implies x4=0.6, tfrac1411x3+tfrac4611(0.6)=2implies x3=-0.4, tfrac113x2-tfrac73(-0.4)+tfrac103(0.6)=tfrac113implies x2=0.2, 3x1+1(0.2)+1(-0.4)-1(0.6)=7implies x1=2.6 , chegando a
  1. Pivô é o maior em módulo na coluna 3, elimino o que resta e obtenho
  1. Substituição regressiva:

Resposta

Em ambos os métodos (sem pivoteamento e com pivoteamento parcial) o sistema tem solução
(x1,x2,x3,x4) = l(2.6,;0.2,;-0.4,;0.6r)

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