Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema
:
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um sistema de 4 equações e 4 incógnitas. A matéria envolvida é eliminação de Gauss (operações elementares em linhas de uma matriz aumentada) e, no segundo caso, pivoteamento parcial (trocar linhas para usar sempre o maior pivô em módulo). Vamos montar a matriz aumentada do sistema, fazer operações de linha para chegar numa matriz triangular superior e depois voltar substituindo (substituição regressiva). Primeiro sem pivoteamento, depois com pivoteamento parcial.
Passo 2
Eliminação de Gauss SEM pivoteamento
- Escrevo a matriz aumentada
- Uso o pivô
e zero abaixo dele:[cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & -5& 4 & -4& -5 0 & 2 & -1 & 2 & 2 ]
-
-
-
Isso dá
Passo 3
Continuo a eliminação SEM pivoteamento
- Pivô agora é
.[cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & 0 & -1 & -4& -2 0 & 0 & 1 & 2 & 0.8 ]
-
(porque[cccc|c 1 & 2 & -1 & 1 & 4 0 & -5& 5 & 0 & -3 0 & 0 & -1 & -4& -2 0 & 0 & 0 & -2& -1.2 ] )-2,x4=-1.2implies x4=0.6, -1,x3 -4(0.6)=-2implies -x3-2.4=-2implies x3=-0.4, -5,x2+5(-0.4)= -3implies -5x2-2=-3implies x2=0.2, x1+2(0.2)-(-0.4)+0.6=4implies x1=2.6 -
(fator = )
Fica
- Pivô
.
- Agora substituição regressiva:
Passo 4
Eliminação de Gauss COM pivoteamento parcial
- Matriz aumentada inicial
- Na coluna 1, o maior em valor absoluto é 3 (linha 3), troco linha 1⇄3:
- Elimino abaixo de
com fatores[cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & -tfrac53 & tfrac73 & tfrac83 & tfrac13 0 & tfrac53 & -tfrac43& tfrac43 & tfrac53 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103& tfrac113 ] :
Passo 5
Continuando pivoteamento parcial
- Na coluna 2 (linhas 2–4), o maior módulo é
(linha 4), troco linha 2⇄4:[cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103& tfrac113 0 & -tfrac53 & tfrac73 & tfrac83 & tfrac13 0 & tfrac53 & -tfrac43& tfrac43 & tfrac53 ]
- Elimino abaixo de
com fatores[cccc|c 3 & 1 & 1 & -1 & 7 0 & tfrac113& -tfrac73& tfrac103 & tfrac113 0 & 0 & tfrac1411& tfrac4611& 2 0 & 0 & 0 & tfrac57& tfrac37 ] , chegando atfrac57x4=tfrac37implies x4=0.6, tfrac1411x3+tfrac4611(0.6)=2implies x3=-0.4, tfrac113x2-tfrac73(-0.4)+tfrac103(0.6)=tfrac113implies x2=0.2, 3x1+1(0.2)+1(-0.4)-1(0.6)=7implies x1=2.6
- Pivô
é o maior em módulo na coluna 3, elimino o que resta e obtenho
- Substituição regressiva:
Resposta
Em ambos os métodos (sem pivoteamento e com pivoteamento parcial) o sistema tem solução