Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema 4 times 4 :
l 4 x1+x2-x3+2 x4=8 3 x1+2 x2+x3-x4=7 x1-x2+3 x3+x4=4 2 x1+3 x2-x3+4 x4=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema 4×4 usando o método de eliminação de Gauss (sem e com pivoteamento parcial). O que cai aqui é:
  • Montar a matriz aumentada do sistema
  • Aplicar eliminação (zerar abaixo do pivô)
  • Fazer retro-substituição
  • No pivoteamento parcial, a cada coluna, trocar a linha do pivô pela que tem maior valor absoluto nessa coluna
Não suponho que você já saiba tudo, então vou explicar cada pedacinho.

Passo 2

Primeiro, a matriz aumentada do sistema
O que queremos é zerar os elementos abaixo de 4 na primeira coluna. Para isso, usamos fatores:
  • Para zerar linha 2: fator 4 & 1 & -1 & 2 &vline& 8 3 & 2 & 1 & -1 &vline& 7 1 & -1 & 3 & 1 &vline& 4 2 & 3 & -1 & 4 &vline& 10
  • Para zerar linha 3: fator [3,2,1,-1mid7] - tfrac34[4,1,-1,2mid8] = [0,;1.25,;1.75,;-2.5mid1]
  • Para zerar linha 4: fator [1,-1,3,1mid4] - tfrac14[4,1,-1,2mid8] = [0,;-1.25,;3.25,;0.5mid2]
Agora subtrai cada linha pelo fator vezes a linha 1:
Linha 2 ← Linha 2 – [2,3,-1,4mid10] - tfrac12[4,1,-1,2mid8] = [0,;2.5,;-0.5,;3mid6] ·Linha 1
4 & 1 & -1 & 2 &vline& 8 0 & 1.25 & 1.75 & -2.5&vline& 1 0 & -1.25& 3.25 & 0.5 &vline& 2 0 & 2.5 & -0.5 & 3 &vline& 6
Linha 3 ← Linha 3 – ·Linha 1
Linha 4 ← Linha 4 – ·Linha 1
Ficamos com:

Passo 3

Agora o pivô é [0,-1.25,3.25,0.5mid2]+[0,1.25,1.75,-2.5mid1] =[0,0,5,-2mid3] (posição (2,2)). Queremos zerar as entradas abaixo dele na coluna 2.
  • Fator para linha 3: [0,2.5,-0.5,3mid6]-2[0,1.25,1.75,-2.5mid1] =[0,0,-4,8mid4]
  • Fator para linha 4: 4 & 1 & -1 & 2 &vline& 8 0 & 1.25 &1.75&-2.5&vline& 1 0 & 0 &5 &-2 &vline& 3 0 & 0 &-4 &8 &vline& 4
Aplicando:
Linha 3 ← Linha 3 – (–1)·Linha 2 = Linha 3 + Linha 2
Linha 4 ← Linha 4 – 2·Linha 2
Agora a matriz é

Passo 4

Pivô na posição (3,3) é 5. Queremos zerar o elemento (4,3), fator [0,0,-4,8mid4] +0.8[0,0,5,-2mid3] =[0,0,0,6.4mid6.4] .
Linha 4 ← Linha 4 – (–0.8)·Linha 3 = Linha 4 + 0.8·Linha 3
4 & 1 & -1 & 2 &vline& 8 0 & 1.25 &1.75&-2.5&vline&1 0 & 0 & 5 & -2 &vline&3 0 & 0 & 0 &6.4&vline&6.4
Agora está triangular superior:

Passo 5

Da última linha:
6.4,x4=6.4;Longrightarrow;x4=1
Na linha 3:
5,x3 -2cdot1=3;Longrightarrow;5x3=5;Longrightarrow;x3=1
Na linha 2:
1.25,x2 +1.75cdot1 -2.5cdot1 =1 ;Longrightarrow;1.25,x2 -0.75=1 ;Longrightarrow;1.25,x2=1.75 ;Longrightarrow;x2=1.4
Na linha 1:
4,x1 +1cdot1.4 -1cdot1 +2cdot1=8 ;Longrightarrow;4,x1+2.4=8 ;Longrightarrow;4,x1=5.6 ;Longrightarrow;x1=1.4

Passo 6

Em cada coluna, antes de eliminar, a gente olha o maior valor absoluto do “resto da coluna” e troca de linha para ter estabilidade numérica.
  1. Coluna 1: pivô é 4 (já é o maior entre 4,3,1,2).
  2. Após zerar primeira coluna (mesmo processo do Passo 2), a coluna 2 ficou [1.25, –1.25, 2.5]. O maior em valor absoluto é 2.5 (linha 4), então trocamos linha 2↔linha 4 antes de eliminar.
  3. A partir daí, a eliminação segue igual, mas agora com essa troca.
O resultado final do triângulo, depois de todas as trocas e eliminações, dá o mesmo sistema triangular superior, e a retro-substituição (como nos Passos 4 e 5) entrega exatamente as mesmas soluções:

Resposta

x₁=1.4, x₂=1.4, x₃=1, x₄=1 (tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial)

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