Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver o sistema de equações $ A x = b $ usando a fatoração $ L U $. Isso significa que a gente vai decompor a matriz $ A $ em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e uma triangular superior $ U $. Para resolver o sistema, vamos precisar entender de fatoração LU, resolução de sistemas triangulares e um pouco de álgebra linear. Vamos começar decompondo a matriz $ A $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz $ A $ e o vetor $ b $:
A
Nossa meta é encontrar duas matrizes, $ L $ (inferior) e $ U $ (superior), tal que $ A = L U $.
Passo 3
Vamos começar a fatoração LU usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, inicializamos $ L $ como a matriz identidade e $ U $ como uma cópia de $ A $:
L
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal de $ U $. Para isso, usamos operações elementares de linha e registramos os multiplicadores na matriz $ L $.
Primeiro, eliminamos o elemento $ U_{21} $ (4). O multiplicador é $ m_{21} = \frac{4}{2} = 2 $. Subtraímos 2 vezes a primeira linha de $ U $:
U
E atualizamos $ L $:
L
Passo 5
Em seguida, eliminamos o elemento $ U_{31} $ (-2). O multiplicador é $ m_{31} = \frac{-2}{2} = -1 $. Adicionamos 1 vez a primeira linha de $ U $ à terceira linha:
U31
Atualizamos $ L $:
m31 = -22 = -1
Passo 6
Agora, olhamos para o segundo pivô, que está na posição $ U_{22} = 1 $. Vamos zerar o elemento abaixo dele, $ U_{32} = 0 $. Nesse caso, já está zerado, então não precisamos fazer mais nada nessa coluna.
A matriz $ U $ final fica:
U22 = 1
E a matriz $ L $ permanece:
U32 = 0
Passo 7
Agora que temos $ L $ e $ U $, podemos resolver o sistema $ A x = b $ de duas etapas: primeiro resolvemos $ L y = b $ para $ y $, e depois $ U x = y $ para $ x $.
Vamos resolver $ L y = b $:
L
Passo 8
Resolvendo o sistema $ L y = b $:
Da primeira equação: $ y_1 = 8 $.
Da segunda equação: $ 2 \times 8 + y_2 = 19 $ L y = b $ y_2 = 19 - 16 = 3 $.