Use a fatoração L U para resolver o sistema A x=b, onde:
A=[ccc 2 & 3 & 1 4 & 7 & -1 -2 & 3 & 2 ], b=[c 8 19 -4 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver o sistema de equações $ A x = b $ usando a fatoração $ L U $. Isso significa que a gente vai decompor a matriz $ A $ em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e uma triangular superior $ U $. Para resolver o sistema, vamos precisar entender de fatoração LU, resolução de sistemas triangulares e um pouco de álgebra linear. Vamos começar decompondo a matriz $ A $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz $ A $ e o vetor $ b $:
A
Nossa meta é encontrar duas matrizes, $ L $ (inferior) e $ U $ (superior), tal que $ A = L U $.

Passo 3

Vamos começar a fatoração LU usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, inicializamos $ L $ como a matriz identidade e $ U $ como uma cópia de $ A $:
L

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal de $ U $. Para isso, usamos operações elementares de linha e registramos os multiplicadores na matriz $ L $.
Primeiro, eliminamos o elemento $ U_{21} $ (4). O multiplicador é $ m_{21} = \frac{4}{2} = 2 $. Subtraímos 2 vezes a primeira linha de $ U $:
U
E atualizamos $ L $:
L

Passo 5

Em seguida, eliminamos o elemento $ U_{31} $ (-2). O multiplicador é $ m_{31} = \frac{-2}{2} = -1 $. Adicionamos 1 vez a primeira linha de $ U $ à terceira linha:
U31
Atualizamos $ L $:
m31 = -22 = -1

Passo 6

Agora, olhamos para o segundo pivô, que está na posição $ U_{22} = 1 $. Vamos zerar o elemento abaixo dele, $ U_{32} = 0 $. Nesse caso, já está zerado, então não precisamos fazer mais nada nessa coluna.
A matriz $ U $ final fica:
U22 = 1
E a matriz $ L $ permanece:
U32 = 0

Passo 7

Agora que temos $ L $ e $ U $, podemos resolver o sistema $ A x = b $ de duas etapas: primeiro resolvemos $ L y = b $ para $ y $, e depois $ U x = y $ para $ x $.
Vamos resolver $ L y = b $:
L

Passo 8

Resolvendo o sistema $ L y = b $:
  1. Da primeira equação: $ y_1 = 8 $.
  2. Da segunda equação: $ 2 \times 8 + y_2 = 19 $ L y = b $ y_2 = 19 - 16 = 3 $.
  3. Da terceira equação: $ -8 + y_3 = -4 $ y1 = 8 $ y_3 = -4 + 8 = 4 $.
Então, $ y = 2 times 8 + y2 = 19 $.

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema $ U x = y $:
U x = y
Começamos pela última equação:
  1. Da terceira equação: $ x_3 = 4 $.
  2. Da segunda equação: $ x_2 - 3 \times 4 = 3 $ 2 x1 + 3 x2 + 1 x3 = 8 0 x1 + 1 x2 - 3 x3 = 3 0 x1 + 0 x2 + 1 x3 = 4 $ x_2 = 3 + 12 = 15 $.
  3. Da primeira equação: $ 2 x_1 + 3 \times 15 + 4 = 8 $ x3 = 4 $ 2 x_1 = 8 - 45 - 4 = -41 $ x2 - 3 times 4 = 3 $ x_1 = -\frac{41}{2} = -20,5 $.

Resposta

A solução do sistema é:
x = -20,5 15 4

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