Encontre a fatoração LU da matriz:
B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 8 & 14 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix}
e pede a fatoração LU de B, ou seja, encontrar matrizes L e U tais que
B = LU,
onde L é triangular inferior (normalmente com 1 na diagonal, no método que usaremos) e U é triangular superior. As entradas da matriz B são todos os números explícitos mostrados acima; não há outras informações ocultas.

Passo 2

Vou usar o método de Doolittle (muito comum em provas): neste método escolhemos L com diagonal composta por 1's e U com a forma triangular superior. As fórmulas gerais que usamos (para uma matriz n\times n) são:
  • Para calcular entradas de U na etapa k (colunas a partir de k):
u_{k j}=a_{k j}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{k s}\,u_{s j},\qquad j=k,k+1,\dots,n.
  • Para calcular multiplicadores de L na etapa k (linhas abaixo de k):
l_{i k}=\frac{a_{i k}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{i s}\,u_{s k}}{u_{k k}},\qquad i=k+1,k+2,\dots,n.
  • E fixamos l_{ii}=1 para todo i.
Aqui a_{ij} são as entradas da matriz B, u_{ij} e l_{ij} são as entradas de U e L. Antes de aplicar, verificamos que cada pivô u_{kk} obtido não seja zero (a fatoração sem pivoteamento exige isso). No nosso caso a matriz é pequena; vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Etapa k=1.
As somas nos fórmulas são vazias para k=1, então:
u_{11}=a_{11}=1,\qquad u_{12}=a_{12}=2,\qquad u_{13}=a_{13}=3.
Como l_{11}=1, calculamos os multiplicadores da primeira coluna:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2, \qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3.

Passo 4

Etapa k=2.
Calculamos as entradas de U na linha 2 usando a fórmula, lembrando que agora as somas incluem o termo com s=1:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=5-2\cdot 2=5-4=1,
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=8-2\cdot 3=8-6=2.
Agora o pivô u_{22}=1 é diferente de zero, então podemos calcular o multiplicador l_{32}:
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{8-3\cdot 2}{1}=\frac{8-6}{1}=2.

Passo 5

Etapa k=3.
Só resta calcular u_{33}. Usamos a fórmula incluindo as somas por s=1,2:
u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=14-3\cdot 3-2\cdot 2=14-9-4=1.
Também fixamos l_{33}=1. Agora temos todas as entradas necessárias.

Passo 6

Montamos L e U com os valores encontrados. As entradas calculadas foram:
  • l_{11}=1, l_{21}=2, l_{31}=3;
  • l_{22}=1, l_{32}=2;
  • l_{33}=1;
  • u_{11}=1, u_{12}=2, u_{13}=3;
  • u_{22}=1, u_{23}=2;
  • u_{33}=1.
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para checar (rápido): multiplicando L por U obtemos a primeira linha (1,2,3), a segunda linha (2,5,8) e a terceira linha (3,8,14), que são exatamente as linhas de B. Então B=LU.]

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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