Encontre a função exponencial que melhor se ajusta aos pontos (0 ; 1,5),(1 ; 2,5),(2 ; 3,5),(3 ; 5) e (4 ; 7,5).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar uma função exponencial que melhor “encaixe” (via mínimos quadrados) nos pontos
(0,1,5),;(1,2,5),;(2,3,5),;(3,5),;(4,7,5)
Conteúdo envolvido: regressão exponencial (que a gente faz linearizando com log), cálculo de somas e fórmulas de mínimos quadrados. Vamos precisar:
  • transformar em algo linear usando log;
  • calcular somatórios de , , e ;
  • aplicar as fórmulas de reta (coeficientes e );
  • voltar pra e .

Passo 2

Primeiro, linearizamos. Se
y = a,b^x,
tira o log natural dos dois lados:
ln y = ln a + xln b
Chama Y = A + Bx, e . Aí vira reta:
Aí a gente faz regressão linear em .

Passo 3

Calcula os valores:
Para cada ponto ln1,5&approx0,4055, ln2,5&approx0,9163, ln3,5&approx1,2528, ln5&approx1,6094, ln7,5&approx2,0149 ache sum x = 10, sum Y approx6,1989, sum x^2 =30, sum x,Y approx16,3097 .
x: 0, 1, 2, 3, 4
y: 1,5; 2,5; 3,5; 5; 7,5
Y=ln y (aprox):
Agora os somatórios (n = 5):

Passo 4

Aplica as fórmulas de mínimos quadrados para a reta B = nsum(xY)-(sum x)(sum Y)nsum x^2-(sum x)^2, A = sum Y - Bsum xn :
B = 5cdot16,3097 - 10cdot6,19895cdot30 - 10^2 = 81,5485 - 61,9890150 -100 approx0,3912,
Substituindo:
A = 6,1989 - 0,3912cdot105 = 6,1989 - 3,91235 approx0,4574

Passo 5

Volta pra a = e^A approx e^0,4574approx1,58, b = e^B approx e^0,3912approx1,48 e :

Resposta

A função exponencial que melhor se ajusta aos dados é, aproximadamente,
boxedy ;approx;1,58;l(1,48r)^x

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