Encontre a parábola que melhor se ajusta aos pontos (-3 ; 3),(0 ; 1),(2 ; 1) e (4 ; 3).

Passo 1

Beleza, temos que encontrar uma parábola do tipo
y = ax^2 + bx + c
que “melhor se ajusta” aos pontos .
Isso é um problema de regressão polinomial (ou ajuste por mínimos quadrados): a gente vai escolher para minimizar o erro total quadrático entre a curva e os pontos. Para resolver, precisamos:
  • Montar as chamadas equações normais do método dos mínimos quadrados.
  • Calcular uns somatórios ( , , etc.).
  • Resolver o sistema linear resultante para achar .

Passo 2

Teoria na prática: queremos minimizar
sumi=1^4 l(yi - (axi^2 + bxi + c)r)^2
Para achar asum xi^4 ;+;bsum xi^3 ;+;csum xi^2 = sum xi^2yi, asum xi^3 ;+;bsum xi^2 ;+;csum xi = sum xiyi, asum xi^2 ;+;bsum xi ;+;c,n = sum yi, que minimizam isso, derivamos em relação a cada coeficiente e igualamos a zero. Isso gera três “equações normais”:
Reorganizando essas somas, a gente obtém o sistema:
com pontos.

Passo 3

Vamos calcular os somatórios usando sum xi &= -3 + 0 + 2 + 4 = 3, sum xi^2 &= 9 + 0 + 4 +16 = 29, sum xi^3 &= -27 +0 +8 +64 = 45, sum xi^4 &= 81 +0 +16 +256 = 353, sum yi &= 3 +1 +1 +3 = 8, sum xiyi &= (-3)cdot3 +0cdot1 +2cdot1 +4cdot3 = 5, sum xi^2yi &= 9cdot3 +0cdot1 +4cdot1 +16cdot3 = 79 :

Passo 4

Substituindo nos três “normais”, fica:
353,a ;+; 45,b ;+;29,c = 79, 45,a ;+;29,b ;+;3,c = 5, 29,a ;+;3,b ;+;4,c = 8

Passo 5

Agora é resolver esse sistema. Por eliminação (ou método da sua preferência) a gente encontra:
a approx 0,1785, b approx -0,1927

Passo 6

Por fim, basta usar uma das equações (por exemplo c approx 0,8507 ) para achar

Resposta

A parábola que melhor se ajusta aos pontos dados é
boxedy approx 0,1785,x^2 ;-;0,1927,x ;+;0,8507

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