Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando-se o Método Iterativo de Gauss-Jacobi. Execute o método até que a distância relativa entre a aproximação encontrada e a iteração anterior seja menor do que 5 \% (ou seja, \epsilon=0,05 ).
O enunciado pede para resolver, pelo Método Iterativo de Gauss–Jacobi, três sistemas lineares, parando quando a distância relativa entre a aproximação atual e a anterior for menor do que [\epsilon=0,05) (5%). Os dados fornecidos são:
Sistema (2) com chute inicial (x^{(0)}]: \begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}+4x_{3}= \; \text{(RHS faltando)},\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}+10x_{3}=3, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Observação: na primeira equação a soma do lado direito (RHS) não foi fornecida no enunciado.
Sistema (3) com chute inicial x^{(0)}\):
\[\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=14,\\[4pt] 2x_{1}+7x_{2}+x_{3}=10,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5x_{3}=11, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
O que é pedido: para cada sistema, aplicar Gauss–Jacobi até que a distância relativa entre duas iterações consecutivas seja menor do que (0,05]. Não foi solicitado usar outra norma, então será adotada a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) para medir diferença.]
Passo 2
Breve explicação do Método de Gauss–Jacobi (com linguagem simples).
Em Gauss–Jacobi isolamos cada variável pela sua equação correspondente e, na iteração (k+1), usamos somente os valores da iteração k (ou seja, todos os componentes antigos).
Notação: denotar por x^{(k)}=\big(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\big)^{T} a aproximação na iteração k.
Formula geral (para uma equação do tipo a_{ii}x_{i}+\sum_{j\neq i}a_{ij}x_{j}=b_{i}):
Parou: a condição de parada foi satisfeita na iteração 5. A solução aproximada (Gauss–Jacobi) é x^{(5)}.]
Passo 9
Sistema (2): observação sobre impossibilidade de resolver com os dados fornecidos.
Na primeira equação do sistema (2) falta o termo do lado direito (RHS). Sem esse valor não é possível isolar x_{1} e nem montar as fórmulas de iteração.
Como o Método de Gauss–Jacobi exige as constantes b_{i} (RHS) para calcular x_{i}^{(k+1)}, não há como prosseguir.
Conclusão: não é possível resolver o sistema (2) porque o enunciado omitiu o valor do lado direito da primeira equação. (Se esse valor for fornecido, aplico o método imediatamente.)
Passo 10
Sistema (3): escrevendo as fórmulas de iteração (isolando cada x_i):