Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando-se o Método Iterativo de Gauss-Jacobi. Execute o método até que a distância relativa entre a aproximação encontrada e a iteração anterior seja menor do que 5 \% (ou seja, \epsilon=0,05 ).
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{rl} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 6 \\\\ 2 x_{1}+10 x_{2}+3 x_{3}= & 20 \\\ x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}= & 14 \end{array}, \quad \text { Chute inicial: } \quad x_{0}=\left[\begin{array}{r} 6 / 5 \\\\ 20 / 10 \\\\ 14 / 6 \end{array}\right]\right. \\\ & \left\{\begin{array}{rl} 8 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} & = \\\ x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}= & 2 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{2}+10 x_{3}= & 3 \end{array}, \quad \text { Chute inicial: } \quad x_{0}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]\right. \\\ & \left\{\begin{array}{rl} 10 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}= & 14 \\\\ 2 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}= & 10 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}= & 11 \end{array}, \quad \text { Chute inicial: } \quad x_{0}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo Método Iterativo de Gauss–Jacobi, três sistemas lineares, parando quando a distância relativa entre a aproximação atual e a anterior for menor do que [\epsilon=0,05) (5%). Os dados fornecidos são:
Sistema (1) com chute inicial x^{(0)}:
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] 2x_{1}+10x_{2}+3x_{3}=20,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=14, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{bmatrix}6/5\\[2pt]20/10\\[2pt]14/6\end{bmatrix}.
Sistema (2) com chute inicial (x^{(0)}]:
\begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}+4x_{3}= \; \text{(RHS faltando)},\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}+10x_{3}=3, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Observação: na primeira equação a soma do lado direito (RHS) não foi fornecida no enunciado.
Sistema (3) com chute inicial x^{(0)}\): \[\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=14,\\[4pt] 2x_{1}+7x_{2}+x_{3}=10,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5x_{3}=11, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
O que é pedido: para cada sistema, aplicar Gauss–Jacobi até que a distância relativa entre duas iterações consecutivas seja menor do que (0,05]. Não foi solicitado usar outra norma, então será adotada a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) para medir diferença.]

Passo 2

Breve explicação do Método de Gauss–Jacobi (com linguagem simples).
  • Em Gauss–Jacobi isolamos cada variável pela sua equação correspondente e, na iteração (k+1), usamos somente os valores da iteração k (ou seja, todos os componentes antigos).
  • Notação: denotar por x^{(k)}=\big(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\big)^{T} a aproximação na iteração k.
  • Formula geral (para uma equação do tipo a_{ii}x_{i}+\sum_{j\neq i}a_{ij}x_{j}=b_{i}):
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_{i}-\sum_{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\Big).
Explico: divide-se a equação pelo coeficiente diagonal a_{ii} e substituem-se as outras incógnitas pelos valores da iteração anterior.
Critério de parada (distância relativa):
  • Usarei a norma infinito \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|.
  • Defino a distância relativa entre iterações como
\delta^{(k+1)}=\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}}{\|x^{(k+1)}\|_{\infty}}.
  • Se \|x^{(k+1)}\|_{\infty}=0 (caso degenerado), usa-se \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\epsilon como fallback.
  • Para a prova, calculemos \delta^{(k+1)} a cada iteração e pare quando \delta^{(k+1)}<0,05.
Agora aplico o método sistema a sistema. Em cada iteração mostro os cálculos para que você consiga repetir na prova.

Passo 3

Sistema (1): escrevendo as fórmulas de iteração (isolando cada x_i):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{5}\big(6 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\big),\\[6pt] x_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\big(20 - 2x_{1}^{(k)} - 3x_{3}^{(k)}\big),\\[6pt] x_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{6}\big(14 - x_{1}^{(k)} - 2x_{2}^{(k)}\big). \end{aligned}
Chute inicial fornecido:
x^{(0)}=\begin{bmatrix}6/5\\[2pt]20/10\\[2pt]14/6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1,2\\[2pt]2,0\\[2pt]2,\overline{3}\end{bmatrix} \approx\begin{bmatrix}1,200000\\[2pt]2,000000\\[2pt]2,333333\end{bmatrix}.]

Passo 4

Sistema (1) — iteração 1 ( k=0 \to k=1):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{1}{5}\big(6-2,0-2,333333\big)=\frac{1}{5}\cdot1,666667=0,333333,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{1}{10}\big(20-2\cdot1,2-3\cdot2,333333\big)=\frac{1}{10}\cdot10,6=1,060000,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=\frac{1}{6}\big(14-1,2-2\cdot2,0\big)=\frac{1}{6}\cdot8,8=1,466667. \end{aligned}
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(0,866667,0,94,0,866666)=0,94.
Norma \|x^{(1)}\|_{\infty}=1,466667. Logo
\delta^{(1)}=\frac{0,94}{1,466667}\approx0,6416>0,05,
continua.]

Passo 5

Sistema (1) — iteração 2 ( k=1\to2):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{1}{5}\big(6-1,060000-1,466667\big)=\frac{1}{5}\cdot3,473333=0,694667,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{1}{10}\big(20-2\cdot0,333333-3\cdot1,466667\big)=\frac{1}{10}\cdot14,933333=1,493333,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=\frac{1}{6}\big(14-0,333333-2\cdot1,060000\big)=\frac{1}{6}\cdot11,546667=1,924444. \end{aligned}
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0,361334,0,433333,0,457777)=0,457777.
Norma \|x^{(2)}\|_{\infty}=1,924444. Logo
\delta^{(2)}=\frac{0,457777}{1,924444}\approx0,2379>0,05.]

Passo 6

Sistema (1) — iteração 3 ( k=2\to3):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{1}{5}\big(6-1,493333-1,924444\big)=\frac{1}{5}\cdot2,582223=0,516445,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{1}{10}\big(20-2\cdot0,694667-3\cdot1,924444\big)=\frac{1}{10}\cdot12,837333=1,283733,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=\frac{1}{6}\big(14-0,694667-2\cdot1,493333\big)=\frac{1}{6}\cdot10,318667=1,719778. \end{aligned}
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx0,209600.
Norma \|x^{(3)}\|_{\infty}=1,719778. Logo
\delta^{(3)}\approx\frac{0,209600}{1,719778}\approx0,1219>0,05.]

Passo 7

Sistema (1) — iteração 4 ( k=3\to4):
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=\frac{1}{5}\big(6-1,283733-1,719778\big)=\frac{1}{5}\cdot2,996489=0,599298,\\[4pt] x_{2}^{(4)}&=\frac{1}{10}\big(20-2\cdot0,516445-3\cdot1,719778\big)=\frac{1}{10}\cdot13,807778=1,380778,\\[4pt] x_{3}^{(4)}&=\frac{1}{6}\big(14-0,516445-2\cdot1,283733\big)=\frac{1}{6}\cdot10,916089=1,819348. \end{aligned}
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0,099572.
Norma \|x^{(4)}\|_{\infty}=1,819348. Logo
\delta^{(4)}\approx\frac{0,099572}{1,819348}\approx0,0547>0,05.]

Passo 8

Sistema (1) — iteração 5 ( k=4\to5):
\begin{aligned} x_{1}^{(5)}&=\frac{1}{5}\big(6-1,380778-1,819348\big)=\frac{1}{5}\cdot2,799874=0,559975,\\[4pt] x_{2}^{(5)}&=\frac{1}{10}\big(20-2\cdot0,599298-3\cdot1,819348\big)=\frac{1}{10}\cdot13,343360=1,334336,\\[4pt] x_{3}^{(5)}&=\frac{1}{6}\big(14-0,599298-2\cdot1,380778\big)=\frac{1}{6}\cdot10,639147=1,773191. \end{aligned}
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,046442.
Norma \|x^{(5)}\|_{\infty}=1,773191. Logo
\delta^{(5)}\approx\frac{0,046442}{1,773191}\approx0,0262<0,05.
Parou: a condição de parada foi satisfeita na iteração 5. A solução aproximada (Gauss–Jacobi) é x^{(5)}.]

Passo 9

Sistema (2): observação sobre impossibilidade de resolver com os dados fornecidos.
  • Na primeira equação do sistema (2) falta o termo do lado direito (RHS). Sem esse valor não é possível isolar x_{1} e nem montar as fórmulas de iteração.
  • Como o Método de Gauss–Jacobi exige as constantes b_{i} (RHS) para calcular x_{i}^{(k+1)}, não há como prosseguir.
    Conclusão: não é possível resolver o sistema (2) porque o enunciado omitiu o valor do lado direito da primeira equação. (Se esse valor for fornecido, aplico o método imediatamente.)

Passo 10

Sistema (3): escrevendo as fórmulas de iteração (isolando cada x_i):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\big(14 - 2x_{2}^{(k)} - 3x_{3}^{(k)}\big),\\[6pt] x_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{7}\big(10 - 2x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\big),\\[6pt] x_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{5}\big(11 - x_{1}^{(k)} - x_{2}^{(k)}\big). \end{aligned}
Chute inicial x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.]

Passo 11

Sistema (3) — iteração 1 ( k=0\to1):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{14}{10}=1,4,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{10}{7}\approx1,428571,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=\frac{11}{5}=2,2. \end{aligned}
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=2,2. Norma \|x^{(1)}\|_{\infty}=2,2. Logo \delta^{(1)}=1>0,05. Continua.]

Passo 12

Sistema (3) — iteração 2 ( k=1\to2):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot1,428571-3\cdot2,2\big)=0,454286,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{1}{7}\big(10-2\cdot1,4-2,2\big)=0,714286,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=\frac{1}{5}\big(11-1,4-1,428571\big)=1,634286. \end{aligned}
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx0,945714. Norma \|x^{(2)}\|_{\infty}=1,634286. Logo \delta^{(2)}\approx0,5789>0,05.]

Passo 13

Sistema (3) — iteração 3 ( k=2\to3):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot0,714286-3\cdot1,634286\big)\approx0,766857,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{1}{7}\big(10-2\cdot0,454286-1,634286\big)\approx1,065306,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=\frac{1}{5}\big(11-0,454286-0,714286\big)\approx1,966286. \end{aligned}
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx0,351020. Norma \|x^{(3)}\|_{\infty}=1,966286. Logo \delta^{(3)}\approx0,1785>0,05.]

Passo 14

Sistema (3) — iteração 4 ( k=3\to4):
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot1,065306-3\cdot1,966286\big)\approx0,597053,\\[4pt] x_{2}^{(4)}&=\frac{1}{7}\big(10-2\cdot0,766857-1,966286\big)=\frac{6{,}5}{7}=0,928571,\\[4pt] x_{3}^{(4)}&=\frac{1}{5}\big(11-0,766857-1,065306\big)\approx1,833567. \end{aligned}
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0,169804. Norma \|x^{(4)}\|_{\infty}=1,833567. Logo \delta^{(4)}\approx0,0926>0,05.]

Passo 15

Sistema (3) — iteração 5 ( k=4\to5):
\begin{aligned} x_{1}^{(5)}&=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot0,928571-3\cdot1,833567\big)\approx0,664216,\\[4pt] x_{2}^{(5)}&=\frac{1}{7}\big(10-2\cdot0,597053-1,833567\big)\approx0,996047,\\[4pt] x_{3}^{(5)}&=\frac{1}{5}\big(11-0,597053-0,928571\big)\approx1,894875. \end{aligned}
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,067475. Norma \|x^{(5)}\|_{\infty}=1,894875. Logo
\delta^{(5)}\approx\frac{0,067475}{1,894875}\approx0,0356<0,05.
Parou: a condição de parada foi satisfeita na iteração 5. A solução aproximada (Gauss–Jacobi) é x^{(5)}.]

Resposta

Sistema (1): \begin{bmatrix}0,559975\\[2pt]1,334336\\[2pt]1,773191\end{bmatrix}
Sistema (2): Não é possível resolver — falta o valor do lado direito (RHS) da primeira equação.
Sistema (3): \begin{bmatrix}0,664216\\[2pt]0,996047\\[2pt]1,894875\end{bmatrix}]

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