Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando-se o Método da Fatoração LU. Caso necessário, utilize as técnicas de pivoteamento, abordadas em sala de aula, para que os erros de arredondamento e de truncamento sejam minimizados.
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{rll} 2 x_{2}+3 x_{3} & = & 8 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & = & 10 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3} & = & 7 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{rll} x_{1}+x_{2}+x_{3} & = & 6 \\\\ 2 x_{1}+7 x_{3} & = & 20 \\\ x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3} & = & 14 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{rll} 3 x_{1}+4 x_{3} & = & 1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & = & 2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3} & = & 3 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas lineares usando o método da fatoração LU, aplicando pivoteamento quando necessário para reduzir erros numéricos. Vou listar cada sistema na forma matricial (pegando os coeficientes e os termos independentes do enunciado).
Sistema 1:
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\[4pt] 4 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]10\\[4pt]7\end{pmatrix}
Sistema 2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]20\\[4pt]14\end{pmatrix}
Sistema 3:
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}
O objetivo para cada sistema é encontrar uma fatoração do tipo \,P A = L U (quando pivoteamento for usado) ou A=LU (sem pivoteamento), onde:
  • \,P é uma matriz de permutação (se houve troca de linhas),
  • \,L é triangular inferior com diagonal igual a 1,
  • \,U é triangular superior.
Depois de obter L e U (e P quando houver), resolveremos L y = P b por substituição progressiva e em seguida U x = y por substituição regressiva. Nos próximos passos farei isso detalhadamente para cada sistema, explicando cada cálculo e dando a intuição.]

Passo 2

Breve explicação do método (para usar na prova, tipo aula rápida e prática).
  • A ideia da fatoração LU (método de Doolittle, que usarei) é escrever a matriz A como produto L U com L unitária (diagonal com uns) e U triangular superior. Isso equivale a fazer eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores na matriz L.
  • Se algum pivô A_{kk} for zero ou muito pequeno, trocamos linhas (pivoteamento parcial) para melhorar a estabilidade. Essas trocas ficam registradas em uma matriz de permutação P; passamos a tratar P A = L U.
  • Procedimento prático (Doolittle, passo a passo):
    1. Escolher (ou pivotar para) a linha com o maior valor absoluto na coluna k entre as linhas k a n (pivoteamento parcial).
    2. Definir U_{k,j} = A_{k,j} - \sum_{s=1}^{k-1} L_{k,s}\,U_{s,j} para j=k,\dots,n.
    3. Definir L_{i,k} = \dfrac{1}{U_{k,k}}\left(A_{i,k} - \sum_{s=1}^{k-1} L_{i,s}\,U_{s,k}\right) para i=k+1,\dots,n.
    4. L tem L_{ii}=1.
  • Após obter L,U e P, resolvemos L y = P b por substituição direta e depois U x = y por substituição regressiva.
    Vou aplicar isso nos três sistemas, mostrando cada cálculo com atenção (sem pular etapas).

Passo 3

Resolução do Sistema 1 (detalhada, com pivoteamento porque A_{11}=0).
Matriz de coeficientes e termo independente (relembrando):
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\[4pt] 4 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}8\\[4pt]10\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  1. Pivoteamento: na coluna 1 os valores absolutos são |0|,|4|,|2|. O maior é 4 (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação P corresponde a essa troca (permuta 1↔2). Após a troca:
P A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\qquad P b = \begin{pmatrix}10\\[4pt]8\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  1. Começamos Doolittle (vamos construir L e U progressivamente).
  • U_{11}=4.
  • Os multiplicadores da coluna 1 são:
    L_{21}=\frac{0}{4}=0,\qquad L_{31}=\frac{2}{4}=\tfrac12.
  • Coluna 1 de L fica (1,0,\tfrac12)^\top (com L_{11}=1).
  • Agora calculamos a segunda linha de U (elementos U_{1j} já conhecidos da primeira linha original):
    U_{12}=1,\qquad U_{13}=2.
  • Elementos da segunda etapa para U (posição 2,2 e 2,3):
    U_{22}=2 - L_{21}\,U_{12} = 2 - 0\cdot1 = 2,
U_{23}=3 - L_{21}\,U_{13} = 3 - 0\cdot2 = 3.
  • Agora L_{32} (multiplicador para eliminar abaixo no passo 2):
    L_{32} = \frac{A_{32} - L_{31}\,U_{12}}{U_{22}} = \frac{3 - \tfrac12\cdot1}{2} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25 = \tfrac54.
  • Por fim, U_{33}:
    U_{33} = A_{33} - L_{31}\,U_{13} - L_{32}\,U_{23} = 1 - \tfrac12\cdot2 - \tfrac54\cdot3 = 1 -1 - \tfrac{15}{4} = -\tfrac{15}{4} = -3{,}75.
  1. Escrevendo L e U:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac12 & \tfrac54 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{15}{4} \end{pmatrix}.
Verificação conceitual: temos P A = L U.
  1. Resolver L y = P b (substituição progressiva).
L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac12 & \tfrac54 & 1 \end{pmatrix},\qquad P b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]8\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  • y_1 = 10.
  • y_2 = 8 (pois L_{21}=0, então y_2 = 8 - 0\cdot y_1).
  • y_3 = 7 - \tfrac12\cdot y_1 - \tfrac54\cdot y_2 = 7 - \tfrac12\cdot10 - \tfrac54\cdot8 =7 -5 -10 = -8.
Logo y=\begin{pmatrix}10\\[4pt]8\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
  1. Resolver U x = y (substituição regressiva).
U=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{15}{4} \end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}10\\[4pt]8\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
  • Da terceira equação: -\dfrac{15}{4} x_3 = -8 \Rightarrow x_3 = \dfrac{-8}{-15/4} = \dfrac{8}{15/4} = \dfrac{8\cdot4}{15} = \dfrac{32}{15}.
  • Segunda equação: 2 x_2 + 3 x_3 = 8 \Rightarrow 2 x_2 = 8 - 3\cdot\dfrac{32}{15} = 8 - \dfrac{96}{15} = \dfrac{40}{5} - \dfrac{32}{5} = \dfrac{8}{5}. Logo x_2 = \dfrac{4}{5}.
    (detalhe em frações: 8 = \dfrac{40}{5}, 3\cdot\dfrac{32}{15}=\dfrac{96}{15}=\dfrac{32}{5}; subtraindo dá \dfrac{8}{5}.)
  • Primeira equação: 4 x_1 + x_2 + 2 x_3 = 10 \Rightarrow 4 x_1 = 10 - x_2 - 2 x_3.
    Substituindo x_2=\dfrac{4}{5} e x_3=\dfrac{32}{15}: x_2 + 2x_3 = \dfrac{4}{5} + 2\cdot\dfrac{32}{15} = \dfrac{12}{15} + \dfrac{64}{15} = \dfrac{76}{15}.Então 4 x_1 = 10 - \dfrac{76}{15} = \dfrac{150}{15} - \dfrac{76}{15} = \dfrac{74}{15}, assim x_1 = \dfrac{74}{60} = \dfrac{37}{30}.
Resultado do Sistema 1:
x_1=\dfrac{37}{30},\qquad x_2=\dfrac{4}{5},\qquad x_3=\dfrac{32}{15}.]

Passo 4

Resolução do Sistema 2 (aplicando pivoteamento parcial — escolhi trocar para melhorar estabilidade).
Matriz e vetor:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 7\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}6\\[4pt]20\\[4pt]14\end{pmatrix}.
  1. Pivoteamento: na coluna 1 os valores absolutos são |1|,|2|,|1|. O maior é 2 (linha 2). Troca de linha 1 com linha 2. Então:
P A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix},\qquad P b = \begin{pmatrix}20\\[4pt]6\\[4pt]14\end{pmatrix}.
  1. Doolittle:
  • U_{11}=2.
  • Multiplicadores da coluna 1: L_{21}=\frac{1}{2}=\tfrac12,\qquad L_{31}=\frac{1}{2}=\tfrac12.
  • Primeira linha de U: U_{12}=0,\;U_{13}=7.
  • U_{22} = 1 - \tfrac12\cdot0 = 1.
  • U_{23} = 1 - \tfrac12\cdot7 = 1 - \tfrac{7}{2} = -\tfrac52.
  • L_{32} = \dfrac{3 - \tfrac12\cdot0}{U_{22}} = \dfrac{3}{1} = 3.
  • U_{33} = 4 - \tfrac12\cdot7 - 3\cdot(-\tfrac52) = 4 - \tfrac{7}{2} + \tfrac{15}{2} = 4 + \tfrac{8}{2} = 4 +4 = 8.
  1. Matrizes L e U:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac12 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac12 & 3 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac52\\[4pt] 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
  1. Resolver L y = P b:
P b=\begin{pmatrix}20\\[4pt]6\\[4pt]14\end{pmatrix}.
  • y_1 = 20.
  • y_2 = 6 - \tfrac12\cdot20 = 6 -10 = -4.
  • y_3 = 14 - \tfrac12\cdot20 - 3\cdot(-4) = 14 -10 +12 = 16.
Logo y=(20,\,-4,\,16)^\top.
  1. Resolver U x = y:
  • Terceira equação: 8 x_3 = 16 \Rightarrow x_3 = 2.
  • Segunda: 1\cdot x_2 - \tfrac52\cdot x_3 = -4 \Rightarrow x_2 - \tfrac52\cdot2 = -4 \Rightarrow x_2 -5 = -4 \Rightarrow x_2 = 1.
  • Primeira: 2 x_1 + 0\cdot x_2 + 7 x_3 = 20 \Rightarrow 2 x_1 + 14 = 20 \Rightarrow x_1 = 3.
Resultado do Sistema 2:
x_1=3,\qquad x_2=1,\qquad x_3=2.]

Passo 5

Resolução do Sistema 3 (pivoteamento parcial porque o maior elemento na coluna 1 é na linha 3).
Matriz e vetor:
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 3 & -2 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  1. Pivoteamento: na coluna 1 os valores absolutos |3|,|1|,|4|. O maior é 4 (linha 3). Troca-se linha 1 com linha 3:
P A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 4 \end{pmatrix},\qquad P b = \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Doolittle:
  • U_{11}=4.
  • Multiplicadores coluna 1: L_{21}=\frac{1}{4}=\tfrac14,\qquad L_{31}=\frac{3}{4}=\tfrac34.
  • Primeira linha de U: U_{12}=3,\;U_{13}=-2.
  • U_{22} = 1 - \tfrac14\cdot3 = 1 - \tfrac34 = \tfrac14.
  • U_{23} = 2 - \tfrac14\cdot(-2) = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.
  • L_{32} = \dfrac{0 - \tfrac34\cdot3}{U_{22}} = \dfrac{-\tfrac{9}{4}}{\tfrac14} = -9.
    (aqui é importante notar a conta passo a passo: 0 - \tfrac34\cdot3 = 0 - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{9}{4}; divide por U_{22}=\tfrac14 -9.)
  • U_{33} = 4 - \tfrac34\cdot(-2) - (-9)\cdot\tfrac52 = 4 + \tfrac32 + \tfrac{45}{2} = 4 + \tfrac{1{,}5 + 22{,}5}{1} = 4 + 24 = 28.
    (usando frações: 4 - \tfrac34\cdot(-2)=4+\tfrac32= \tfrac{8}{2}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{11}{2}; -L_{32}U_{23} = -(-9)\cdot\tfrac52 = +\tfrac{45}{2}; soma \tfrac{11}{2}+\tfrac{45}{2}=\tfrac{56}{2}=28.)
  1. Matrizes L e U:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac14 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac34 & -9 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 4 & 3 & -2\\[4pt] 0 & \tfrac14 & \tfrac52\\[4pt] 0 & 0 & 28 \end{pmatrix}.
  1. Resolver L y = P b com P b=(3,2,1)^\top:
  • y_1 = 3.
  • y_2 = 2 - \tfrac14\cdot3 = 2 - \tfrac34 = \tfrac54 = 1{,}25.
  • y_3 = 1 - \tfrac34\cdot3 - (-9)\cdot\tfrac54 = 1 - \tfrac{9}{4} + \tfrac{45}{4} = 1 + \tfrac{36}{4} = 1 + 9 = 10.
Logo y=\begin{pmatrix}3\\[4pt]\tfrac54\\[4pt]10\end{pmatrix}.
  1. Resolver U x = y:
  • Terceira equação: 28 x_3 = 10 \Rightarrow x_3 = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}.
  • Segunda: \tfrac14 x_2 + \tfrac52 x_3 = \tfrac54 \Rightarrow \tfrac14 x_2 = \tfrac54 - \tfrac52 x_3.
    Substituindo x_3=\tfrac{5}{14}: \tfrac52 x_3 = \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{5}{14} = \tfrac{25}{28}.E \tfrac54 = \tfrac{35}{28}. Então \tfrac14 x_2 = \tfrac{35}{28} - \tfrac{25}{28} = \tfrac{10}{28} = \tfrac{5}{14}.Multiplicando por 4: x_2 = 4\cdot \tfrac{5}{14} = \tfrac{20}{14} = \tfrac{10}{7}.
  • Primeira: 4 x_1 + 3 x_2 -2 x_3 = 3 \Rightarrow 4 x_1 = 3 - 3 x_2 + 2 x_3.
    Substituindo x_2=\tfrac{10}{7}, x_3=\tfrac{5}{14}: -3 x_2 + 2 x_3 = -\tfrac{30}{7} + \tfrac{10}{14} = -\tfrac{30}{7} + \tfrac{5}{7} = -\tfrac{25}{7}.Assim 4 x_1 = 3 - \tfrac{25}{7} = \tfrac{21}{7} - \tfrac{25}{7} = -\tfrac{4}{7}. Logo x_1 = -\dfrac{1}{7}.
Resultado do Sistema 3:
x_1=-\dfrac{1}{7},\qquad x_2=\dfrac{10}{7},\qquad x_3=\dfrac{5}{14}.]

Resposta

x^{(1)}_1=\dfrac{37}{30},\;x^{(1)}_2=\dfrac{4}{5},\;x^{(1)}_3=\dfrac{32}{15}
x^{(2)}_1=3,\;x^{(2)}_2=1,\;x^{(2)}_3=2
x^{(3)}_1=-\dfrac{1}{7},\;x^{(3)}_2=\dfrac{10}{7},\;x^{(3)}_3=\dfrac{5}{14}

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