Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando-se o Método da Fatoração LU. Caso necessário, utilize as técnicas de pivoteamento, abordadas em sala de aula, para que os erros de arredondamento e de truncamento sejam minimizados.
O enunciado pede para resolver três sistemas lineares usando o método da fatoração LU, aplicando pivoteamento quando necessário para reduzir erros numéricos. Vou listar cada sistema na forma matricial (pegando os coeficientes e os termos independentes do enunciado).
O objetivo para cada sistema é encontrar uma fatoração do tipo \,P A = L U (quando pivoteamento for usado) ou A=LU (sem pivoteamento), onde:
\,P é uma matriz de permutação (se houve troca de linhas),
\,L é triangular inferior com diagonal igual a 1,
\,U é triangular superior.
Depois de obter L e U (e P quando houver), resolveremos L y = P b por substituição progressiva e em seguida U x = y por substituição regressiva. Nos próximos passos farei isso detalhadamente para cada sistema, explicando cada cálculo e dando a intuição.]
Passo 2
Breve explicação do método (para usar na prova, tipo aula rápida e prática).
A ideia da fatoração LU (método de Doolittle, que usarei) é escrever a matriz A como produto L U com L unitária (diagonal com uns) e U triangular superior. Isso equivale a fazer eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores na matriz L.
Se algum pivô A_{kk} for zero ou muito pequeno, trocamos linhas (pivoteamento parcial) para melhorar a estabilidade. Essas trocas ficam registradas em uma matriz de permutação P; passamos a tratar P A = L U.
Procedimento prático (Doolittle, passo a passo):
Escolher (ou pivotar para) a linha com o maior valor absoluto na coluna k entre as linhas k a n (pivoteamento parcial).
Definir U_{k,j} = A_{k,j} - \sum_{s=1}^{k-1} L_{k,s}\,U_{s,j} para j=k,\dots,n.
Definir L_{i,k} = \dfrac{1}{U_{k,k}}\left(A_{i,k} - \sum_{s=1}^{k-1} L_{i,s}\,U_{s,k}\right) para i=k+1,\dots,n.
L tem L_{ii}=1.
Após obter L,U e P, resolvemos L y = P b por substituição direta e depois U x = y por substituição regressiva.
Vou aplicar isso nos três sistemas, mostrando cada cálculo com atenção (sem pular etapas).
Passo 3
Resolução do Sistema 1 (detalhada, com pivoteamento porque A_{11}=0).
Matriz de coeficientes e termo independente (relembrando):
Pivoteamento: na coluna 1 os valores absolutos são |0|,|4|,|2|. O maior é 4 (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação P corresponde a essa troca (permuta 1↔2). Após a troca:
P A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\qquad P b = \begin{pmatrix}10\\[4pt]8\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Começamos Doolittle (vamos construir L e U progressivamente).
L_{32} = \dfrac{0 - \tfrac34\cdot3}{U_{22}} = \dfrac{-\tfrac{9}{4}}{\tfrac14} = -9.
(aqui é importante notar a conta passo a passo: 0 - \tfrac34\cdot3 = 0 - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{9}{4}; divide por U_{22}=\tfrac14 dá -9.)