04 - Encontre a série de taylor da função
ao redor de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Taylor da função
ao redor de
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de expansão (centro) é
. - Objetivo: obter a expansão em potências de
(i.e., série de Taylor centrada em ) e expor a região onde a série converge.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples e didática):
- Primeiro fazer frações parciais para decompor
em parcelas mais simples do tipo . Isso é álgebra elementar e facilita a série. - Depois, para cada parcela do tipo
com , escrever como uma série geométrica usando a fórmula básica
- Essa fórmula gera desenvolvimento em potências de
. Vou explicar cada passo com cuidado para que dê para reproduzir na prova.
Passo 3
Fazer frações parciais (passo a passo):
- O denominador fatoriza:
. - Procuramos constantes
e tais que
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Tomando
dá . - Tomando
dá . - Logo a decomposição é
Passo 4
Reescrever em torno de
. Defino
(então
). Vou desenvolver cada parcela em série geométrica.
- Para a primeira parcela:
Aplicando a série geométrica com
(válida para
, i.e.,
):
- Para a segunda parcela:
Aplicando a série geométrica com
(válida para
):
Passo 5
Subtrair as duas séries para obter a série de
:
- Como
, encontramos
onde
.
- Ou seja, de forma explícita em potências de
:
- Primeiro termos (para “ver” o padrão):
-
: coeficiente , então termo constante (confere com ). -
: coeficiente . -
: coeficiente .
Assim,
-
Passo 6
Raio de convergência (explicação simples):
- Cada expansão individual exigiu
(primeira) e (segunda). Para que as duas séries sejam válidas simultaneamente, precisa valer a interseção: . - Isso também coincide com a ideia geral: o raio de convergência da série de Taylor é a distância do centro
até a singularidade mais próxima da função. As singularidades são (distância ) e (distância ), logo o raio é . - Portanto a série converge para
.