04 - Encontre a série de taylor da função f(x)=\frac{5}{x^{2}+7 x+6} ao redor de a=4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Taylor da função f(x)=\dfrac{5}{x^{2}+7x+6} ao redor de a=4.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{x^{2}+7x+6}.
  • O ponto de expansão (centro) é a=4.
  • Objetivo: obter a expansão em potências de (x-4) (i.e., série de Taylor centrada em 4) e expor a região onde a série converge.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma simples e didática):
  • Primeiro fazer frações parciais para decompor f(x) em parcelas mais simples do tipo \dfrac{1}{x+b}. Isso é álgebra elementar e facilita a série.
  • Depois, para cada parcela do tipo \dfrac{1}{c+h} com h=x-4, escrever como uma série geométrica usando a fórmula básica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n\quad\text{para }|u|<1.
  • Essa fórmula gera desenvolvimento em potências de h. Vou explicar cada passo com cuidado para que dê para reproduzir na prova.

Passo 3

Fazer frações parciais (passo a passo):
  • O denominador fatoriza: x^{2}+7x+6=(x+1)(x+6).
  • Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5}{(x+1)(x+6)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+6}.
  • Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+6) obtemos
5 = A(x+6)+B(x+1).
  • Tomando x=-1 5=A\cdot 5\Rightarrow A=1.
  • Tomando x=-6 5=B\cdot(-5)\Rightarrow B=-1.
  • Logo a decomposição é
\frac{5}{x^{2}+7x+6}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}.

Passo 4

Reescrever em torno de a=4. Defino h=x-4 (então x=4+h). Vou desenvolver cada parcela em série geométrica.
  • Para a primeira parcela:
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{5+h}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{5}}.
Aplicando a série geométrica com u=\dfrac{h}{5} (válida para |u|<1, i.e., |h|<5):
\frac{1}{5+h}=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{h}{5}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{5^{\,n+1}}h^n.
  • Para a segunda parcela:
\frac{1}{x+6}=\frac{1}{10+h}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{10}}.
Aplicando a série geométrica com u=\dfrac{h}{10} (válida para |h|<10):
\frac{1}{10+h}=\frac{1}{10}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{h}{10}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{10^{\,n+1}}h^n.

Passo 5

Subtrair as duas séries para obter a série de f:
  • Como f(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+6}, encontramos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{5^{\,n+1}}-\frac{1}{10^{\,n+1}}\right)h^n,
onde h=x-4.
  • Ou seja, de forma explícita em potências de (x-4):
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{5^{\,n+1}}-\frac{1}{10^{\,n+1}}\right)(x-4)^n.
  • Primeiro termos (para “ver” o padrão):
    • n=0: coeficiente \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}, então termo constante \dfrac{1}{10} (confere com f(4)=\tfrac{1}{10}).
    • n=1: coeficiente -\left(\dfrac{1}{25}-\dfrac{1}{100}\right)=-\dfrac{3}{100}.
    • n=2: coeficiente +\left(\dfrac{1}{125}-\dfrac{1}{1000}\right)=\dfrac{7}{1000}.
      Assim,
f(x)=\frac{1}{10}-\frac{3}{100}(x-4)+\frac{7}{1000}(x-4)^2-\cdots.

Passo 6

Raio de convergência (explicação simples):
  • Cada expansão individual exigiu |h|<5 (primeira) e |h|<10 (segunda). Para que as duas séries sejam válidas simultaneamente, precisa valer a interseção: |h|<5.
  • Isso também coincide com a ideia geral: o raio de convergência da série de Taylor é a distância do centro a=4 até a singularidade mais próxima da função. As singularidades são x=-1 (distância 5) e x=-6 (distância 10), logo o raio é 5.
  • Portanto a série converge para |x-4|<5.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{5^{\,n+1}}-\frac{1}{10^{\,n+1}}\right)(x-4)^n,\qquad |x-4|<5.

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