Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3 n-2)}{(n+1)^{2} 2^{n+1}}(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3 n-2)}{(n+1)^{2} 2^{n+1}}(x-3)^{n},
e (2) testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos finais do intervalo de convergência).
Informações dadas que vamos usar:
  • A série está centrada em x_{0}=3.
  • O coeficiente geral da parte em (x-3)^{n} é
a_{n}=\frac{3n-2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}.
A partir disso precisamos encontrar o raio de convergência R (e então o intervalo |x-3|<R) e testar x=3\pm R.

Passo 2

Método para achar o raio: usar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) aplicado aos coeficientes da série de potências. Regra prática: se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|,
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (quando L existe e é positivo). Vou calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
Calcule a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{(n+2)^{2}2^{\,n+2}}=\frac{3n+1}{(n+2)^{2}2^{\,n+2}}.
Agora a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{3n+1}{(n+2)^{2}2^{\,n+2}}}{\dfrac{3n-2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}} =\frac{3n+1}{3n-2}\cdot\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)^{2}}\cdot\frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n+2}}.
Simplificando a potência de 2:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{3n+1}{3n-2}\cdot\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}.
Agora tomo limite quando n\to\infty. Cada fator tende a:
\frac{3n+1}{3n-2}\to 1,\qquad \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{2}\to 1,\qquad \frac{1}{2}\to \frac{1}{2}.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{2}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=2.

Passo 3

Interpretação: a série converge absolutamente para |x-3|<2 e diverge para |x-3|>2. Em termos de intervalo real centrado em 3, o intervalo aberto é
1<x<5,
ou escrito em forma de desigualdade: |x-3|<2. Agora os extremos a testar são x=1 (onde x-3=-2) e x=5 (onde x-3=2).

Passo 4

Teste em x=5 ( x-3=2). Substituindo na série obtemos os termos:
a_{n}(2)^{n}=\frac{3n-2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}\cdot 2^{n} =\frac{3n-2}{2\,(n+1)^{2}}.
Assim a série em x=5 é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n-2}{2\,(n+1)^{2}}.
Para estudar convergência, observe o comportamento assintótico do termo geral quando n grande:
\frac{3n-2}{2(n+1)^{2}}\sim \frac{3n}{2n^{2}}=\frac{3}{2n}.
Como a série harmônica \sum 1/n diverge, e aqui os termos são comparáveis a c/n com c=3/2>0, temos divergência por comparação (ou limite de comparação). Portanto a série diverge em x=5.

Passo 5

Teste em x=1 ( x-3=-2). Substituindo:
a_{n}(-2)^{n}=\frac{3n-2}{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}\cdot(-2)^{n} =\frac{3n-2}{2\,(n+1)^{2}}(-1)^{n}.
Então a série torna-se a série alternada
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,b_{n}\qquad\text{com}\qquad b_{n}=\frac{3n-2}{2\,(n+1)^{2}}>0.
Usamos o Teste de Leibniz (critério das séries alternadas): se b_{n} é monótona não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, então a série alternada converge.
Verifico as duas condições:
  1. Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=0 porque b_{n}\sim 3/(2n)\to 0.
  2. Monotonicidade eventual: comparar b_{n+1} e b_{n}. Para n\ge 2 tem-se
\frac{3(n+1)-2}{2(n+2)^{2}}\le \frac{3n-2}{2(n+1)^{2}},
o que pode ser comprovado por manipulação algébrica (expandindo ambos os lados e verificando que a desigualdade se reduz a 3n^{2}-n-9\ge0, verdadeira para n\ge2). Assim b_{n} é decrescente a partir de n=2.
Como as condições do Teste de Leibniz valem, a série converge em x=1.

Passo 6

Verificação de convergência absoluta em x=1: a série absoluta é
\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n-2}{2(n+1)^{2}}.
Como acima b_{n}\sim \dfrac{3}{2n}, a soma das magnitudes diverge (comparação com 1/n). Logo a convergência em x=1 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Resposta

O raio de convergência é R=2, portanto o intervalo aberto de convergência é |x-3|<2 ou 1<x<5.
Em x=1: a série converge condicionalmente.
Em x=5: a série diverge.

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