Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo: \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3 n-2)}{(n+1)^{2} 2^{n+1}}(x-3)^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o intervalo de convergência da série de potências
Como a série harmônica \sum 1/n diverge, e aqui os termos são comparáveis a c/n com c=3/2>0, temos divergência por comparação (ou limite de comparação). Portanto a série diverge em x=5.
Usamos o Teste de Leibniz (critério das séries alternadas): se b_{n} é monótona não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, então a série alternada converge.
Verifico as duas condições:
Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=0 porque b_{n}\sim 3/(2n)\to 0.
Monotonicidade eventual: comparar b_{n+1} e b_{n}. Para n\ge 2 tem-se
o que pode ser comprovado por manipulação algébrica (expandindo ambos os lados e verificando que a desigualdade se reduz a 3n^{2}-n-9\ge0, verdadeira para n\ge2). Assim b_{n} é decrescente a partir de n=2.
Como as condições do Teste de Leibniz valem, a série converge em x=1.
Passo 6
Verificação de convergência absoluta em x=1: a série absoluta é
Como acima b_{n}\sim \dfrac{3}{2n}, a soma das magnitudes diverge (comparação com 1/n). Logo a convergência em x=1 é condicional (converge, mas não absolutamente).
Resposta
O raio de convergência é R=2, portanto o intervalo aberto de convergência é |x-3|<2 ou 1<x<5.
Em x=1: a série converge condicionalmente.
Em x=5: a série diverge.