Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo: \quad \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{2 n-1} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
e testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão geral do termo é \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} x^n.
O índice começa em n=0. Observação importante: para n=0 o fator \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} fica \left(\dfrac{0}{1}\right)^{-1}, que é indefinido. Portanto a série precisa ser interpretada com início em n=1. A partir de agora vou trabalhar com a série começando em n=1, que é a interpretação consistente do enunciado.
O que se pede: o raio/intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge) e, em particular, verificar convergência nos pontos extremos desse intervalo.
Passo 2
Vamos determinar o raio de convergência usando o Teste da raiz (Cauchy). Vou primeiro explicar o teste e por que ele é conveniente aqui.
Lembrete do Teste da raiz (forma prática):
Se (b_n) é a sequência dos coeficientes da série em potências, isto é consideramos os termos u_n=b_n x^n, então definimos
Como o termo geral não tende a zero, a série em x=4 não pode convergir (condição necessária para convergência de uma série é que os termos vão a zero). Conclusão: diverge em x=4.
O módulo |u_n| é exatamente o mesmo que no caso anterior, cujo limite é 2/e. Logo |u_n|\not\to 0, em particular u_n não tende a zero (os valores oscilam em sinal com módulo que tende a 2/e). Portanto a série também diverge em x=-4.
Passo 5
Resumo das conclusões (já justificadas nos passos anteriores):
O raio de convergência é R=4.
A série converge absolutamente para |x|<4.
Nos extremos x=4 e x=-4 a série diverge, pois o termo geral não tende a zero.
Resposta
Intervalo de convergência: (-4,4)
Convergência em x=4: diverge
Convergência em x=-4: diverge