Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{2 n-1} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{2 n-1} x^{n}
e testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão geral do termo é \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} x^n.
  • O índice começa em n=0. Observação importante: para n=0 o fator \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} fica \left(\dfrac{0}{1}\right)^{-1}, que é indefinido. Portanto a série precisa ser interpretada com início em n=1. A partir de agora vou trabalhar com a série começando em n=1, que é a interpretação consistente do enunciado.
  • O que se pede: o raio/intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge) e, em particular, verificar convergência nos pontos extremos desse intervalo.

Passo 2

Vamos determinar o raio de convergência usando o Teste da raiz (Cauchy). Vou primeiro explicar o teste e por que ele é conveniente aqui.
Lembrete do Teste da raiz (forma prática):
Se (b_n) é a sequência dos coeficientes da série em potências, isto é consideramos os termos u_n=b_n x^n, então definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=\limsup_{n\to\infty}\Big(\sqrt[n]{|b_n|}\,|x|\Big).
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso b_n=\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}. Vamos calcular
\sqrt[n]{\left|\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} x^n\right|} =\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{\!2-\tfrac{1}{n}}\,|x|.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Observando que
\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2},
temos
\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2-\tfrac{1}{n}} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}= \dfrac{1}{4}.
Portanto o limite do n-ésimo radical é \dfrac{1}{4}|x|. Pelo Teste da raiz, a série converge absolutamente se
\dfrac{1}{4}|x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.
Logo o raio de convergência é R=4 e o intervalo aberto de convergência é (-4,4). Agora precisamos testar os extremos x=4 e x=-4.

Passo 3

Teste em x=4. Substituindo x=4 o termo geral fica
u_n = \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} 4^{n}.
Para estudar a convergência é conveniente reescrever u_n de forma que possamos tomar limite simples. Observe:
\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1} =\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n}\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{-1} =\left(\dfrac{n^2}{(2n+1)^2}\right)^{n}\cdot\dfrac{2n+1}{n}.
Multiplicando por 4^n,
u_n = 4^n\left(\dfrac{n^2}{(2n+1)^2}\right)^{n}\cdot\dfrac{2n+1}{n} = \left(\dfrac{4n^2}{(2n+1)^2}\right)^{n}\cdot\dfrac{2n+1}{n}.
Note que
\frac{4n^2}{(2n+1)^2}=\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^2=\left(\frac{1}{1+\tfrac{1}{2n}}\right)^2.
Portanto
\left(\frac{4n^2}{(2n+1)^2}\right)^{n} =\left(\frac{1}{1+\tfrac{1}{2n}}\right)^{2n} \longrightarrow e^{-1}\quad\text{quando }n\to\infty,
porque \left(1+\tfrac{1}{2n}\right)^{2n}\to e. Além disso
\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}\longrightarrow 2.
Multiplicando os limites, obtemos
\lim_{n\to\infty} u_n = e^{-1}\cdot 2 = \dfrac{2}{e}\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série em x=4 não pode convergir (condição necessária para convergência de uma série é que os termos vão a zero). Conclusão: diverge em x=4.

Passo 4

Teste em x=-4. Agora o termo geral é
u_n = \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}(-4)^{n}=(-1)^n\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}4^{n}.
O módulo |u_n| é exatamente o mesmo que no caso anterior, cujo limite é 2/e. Logo |u_n|\not\to 0, em particular u_n não tende a zero (os valores oscilam em sinal com módulo que tende a 2/e). Portanto a série também diverge em x=-4.

Passo 5

Resumo das conclusões (já justificadas nos passos anteriores):
  • O raio de convergência é R=4.
  • A série converge absolutamente para |x|<4.
  • Nos extremos x=4 e x=-4 a série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Resposta

Intervalo de convergência: (-4,4)
Convergência em x=4: diverge
Convergência em x=-4: diverge

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