Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}}.
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações dadas (já escritas de forma explícita):
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}}.
  • Não há valores numéricos adicionais; a variável é x.

Passo 2

Primeiro organizar a série para trabalhar com um único expoente por termo. Note que cada termo tem potência ímpar de x. Factorizando x e fazendo uma troca de índice facilita o uso dos testes de convergência:
Escrevo um fator x fora da soma e crio a nova variável y=x^{2}. Assim:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}} = x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} (x^{2})^{\,n-1}}{(4 n-3)^{2}}.
Faço a mudança de índice m=n-1. Então n=m+1 e a soma fica
x\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2^{m} y^{m}}{(4(m+1)-3)^{2}} = x\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2^{m} y^{m}}{(4m+1)^{2}},
onde \displaystyle y=x^{2}. Agora a série dentro da soma é uma série de potências em y:
x\sum_{m=0}^{\infty} c_{m} y^{m},\qquad c_{m}=\frac{2^{m}}{(4m+1)^{2}}.

Passo 3

Vou determinar o raio de convergência em y para a série \sum c_{m} y^{m}. Para séries de potências a fórmula padrão é
R_y=\frac{1}{\limsup_{m\to\infty} |c_{m}|^{1/m}}.
Aqui c_{m}>0, então calculo
|c_{m}|^{1/m}=\left(\frac{2^{m}}{(4m+1)^{2}}\right)^{1/m} =2\,(4m+1)^{-2/m}.
Como \displaystyle \lim_{m\to\infty}(4m+1)^{-2/m}=1 (qualquer sequência polinomial elevada a 1/m tende a 1), obtemos
\lim_{m\to\infty} |c_{m}|^{1/m}=2.
Portanto
R_y=\frac{1}{2}.

Passo 4

Lembrando que y=x^{2}, a condição |y|<R_y vira
|x|^{2}<\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{\sqrt{2}}.
Assim o intervalo de convergência (aberto) em x é \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right). Agora preciso testar os extremos x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Testo x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então y=x^{2}=\dfrac{1}{2}. Substituindo na forma já fatorada:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}} = x\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2^{m} y^{m}}{(4m+1)^{2}}.
Para y=\dfrac{1}{2} cada termo da soma torna-se
\frac{2^{m}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{m}}{(4m+1)^{2}}=\frac{1}{(4m+1)^{2}}.
Logo a série transforma-se em
\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(4m+1)^{2}}.
A série \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(4m+1)^{2}} é comparável à série p com p=2: para m\ge 0 tem (4m+1)^{2}\ge m^{2} (a constante nos denominadores não afeta a convergência), então por comparação com \sum 1/m^{2} essa série converge. Portanto a série original converge quando x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Além disso a soma dos valores absolutos é
\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(4m+1)^{2}},
que é finita, logo a convergência é absoluta nesse extremo.

Passo 6

Testo x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Novamente y=\dfrac{1}{2} e o mesmo cálculo da soma interna vale; a única diferença é o fator externo x que agora é -\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim a série torna-se
-\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(4m+1)^{2}},
que é convergente (pela mesma comparação com p-série) e, pela mesma razão, converge absolutamente. Portanto o extremo esquerdo também pertence ao intervalo de convergência.

Resposta

\displaystyle \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right] (a série converge absolutamente em ambos os extremos).

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