Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo: \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}}
Testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações dadas (já escritas de forma explícita):
A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^{2 n-1}}{(4 n-3)^{2}}.
Não há valores numéricos adicionais; a variável é x.
Passo 2
Primeiro organizar a série para trabalhar com um único expoente por termo. Note que cada termo tem potência ímpar de x. Factorizando x e fazendo uma troca de índice facilita o uso dos testes de convergência:
Escrevo um fator x fora da soma e crio a nova variável y=x^{2}. Assim:
Assim o intervalo de convergência (aberto) em x é \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right). Agora preciso testar os extremos x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Passo 5
Testo x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então y=x^{2}=\dfrac{1}{2}. Substituindo na forma já fatorada:
A série \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(4m+1)^{2}} é comparável à série p com p=2: para m\ge 0 tem (4m+1)^{2}\ge m^{2} (a constante nos denominadores não afeta a convergência), então por comparação com \sum 1/m^{2} essa série converge. Portanto a série original converge quando x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Além disso a soma dos valores absolutos é
que é finita, logo a convergência é absoluta nesse extremo.
Passo 6
Testo x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Novamente y=\dfrac{1}{2} e o mesmo cálculo da soma interna vale; a única diferença é o fator externo x que agora é -\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim a série torna-se
que é convergente (pela mesma comparação com p-série) e, pela mesma razão, converge absolutamente. Portanto o extremo esquerdo também pertence ao intervalo de convergência.
Resposta
\displaystyle \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right] (a série converge absolutamente em ambos os extremos).