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lim x 0 tan x-xx^3

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente calcular
limxto 0tan x - xx^3
Isso é sobre limites e envolve aproximar funções perto de zero. Para resolver, a gente vai usar séries de Taylor (Maclaurin) para as funções seno e cosseno e daí montar a expansão de até a ordem .

Passo 2

Vamos lembrar as expansões de Taylor ao redor de 0 (Maclaurin):
sin x = x - x^36 + O(x^5), cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Aqui o só quer dizer “termos de ordem ou maior”, que vão sumir quando .

Passo 3

Como 1cos x = 11 - tfracx^22 + O(x^4) = 1 + x^22 + O(x^4) , a gente divide as séries. Primeiro escrevo
tan x = l(x - tfracx^36 + O(x^5)r),l(1 + tfracx^22 + O(x^4)r)
(usando a regra de que tan x = xcdot1 + xcdotx^22 - x^36cdot1 + O(x^5) = x + x^32 - x^36 + O(x^5) = x + x^33 + O(x^5) para pequeno).
Multiplico então:
Focando até :

Passo 4

Aí fica fácil:
tan x - x = x^33 + O(x^5) Longrightarrow tan x - xx^3 = 13 + O(x^2)
Quando , o some e sobra .

Resposta

limxto0tan x - xx^3 = 13

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