Encontre o limite da seqüência convergente an tal que a0=1 e an+1=an+12^n+1 para n>1.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma sequência (an) com a0 = 1 e a regra de recorrência
an+1 = an + 12^n+1(n>=0)
O que o enunciado pede é o limite de an quando ntoinfty.
Conteúdo: limite de sequência e soma de série geométrica. Vamos precisar “desenrolar” a recorrência e usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever an em função de a0 e da soma dos incrementos:
  • Para n=1: a1 = a0 + 12^1
    - Para n=2:
    a2 = a1 + 12^2 = a0 + 12^1 + 12^2
Continuando assim, até n, fica claro que
an = a0 + sumk=1^n 12^k = 1 + sumk=1^n 12^k

Passo 3

A soma sumk=1^n 12^k é uma série geométrica finita com razão r=tfrac12. A fórmula geral é
sumk=1^n r^k = rl(1 - r^nr)1 - r
Substituindo r = tfrac12, dá
sumk=1^n 12^k = tfrac12l(1 - (1/2)^nr)1 - tfrac12 = 1 - l(tfrac12r)^n
Logo
an = 1 + l(1 - (1/2)^nr) = 2 - l(tfrac12r)^n

Passo 4

Agora falta pegar o limite quando ntoinfty. Como |1/2|<1, sabemos que
limntoinfty l(tfrac12r)^n = 0
Portanto
limntoinfty an = limntoinftyl(2 - (1/2)^nr) = 2 - 0 = 2

Resposta

O limite da sequência é 2.

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