Encontre o limite da seqüência convergente
tal que
e
para
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma sequência
com
e a regra de recorrência
O que o enunciado pede é o limite de
Conteúdo: limite de sequência e soma de série geométrica. Vamos precisar “desenrolar” a recorrência e usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em função de
e da soma dos incrementos:
- Para
:
- Para:
Continuando assim, até
, fica claro que
Passo 3
A soma
é uma série geométrica finita com razão
. A fórmula geral é
Substituindo
Logo
Passo 4
Agora falta pegar o limite quando
. Como
, sabemos que
Portanto
Resposta
O limite da sequência é
.