Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
c) sum e^n2^2 n(x-raiz3)^3 n-5

Passo 1

Beleza, a gente tem a série
sumn=1^infty e^n2^2n,(x-raiz3)^3n-5
Conteúdo: séries de potências e teste da raiz n-ésima pra achar raio de convergência.
O que precisamos: identificar o centro (é de cara onde aparece ) e aplicar o teste da raiz pra descobrir até onde pode ir.

Passo 2

Identificar o centro
Na série o termo é x0 = raiz3 , então o centro é

Passo 3

Aplicar o teste da raiz n-ésima
A gente pega o n-ésimo termo
an(x)=e^n2^2n,(x-raiz3)^3n-5
e calcula
L = limntoinfty raiz[n]l|an(x)r| = limntoinfty raiz[n]e^n4^n,l|x-raiz3r|^3n-5
Como
raiz[n]e^n4^n = e4, raiz[n]l|x-raiz3r|^3n-5 =l|x-raiz3r|^3-tfrac5n ;xrightarrow[ntoinfty]; |x-raiz3|^3,
vem
L = e4;|x-raiz3|^3

Passo 4

Condição de convergência
O teste da raiz diz que converge se e4;|x-raiz3|^3 < 1 Longrightarrow |x-raiz3|^3 < 4e Longrightarrow |x-raiz3| < l(tfrac4er)^1/3 , ou seja
Desse jeito a gente encontra o raio de convergência.

Resposta

Centro:
Raio de convergência:

Exercícios relacionados