Seja
(a) Encontre a Série de Maclaurin de
(sem usar a série binomial) e mostre que a série representa a função em
.
(a) Encontre a Série de Maclaurin de
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Série de Maclaurin de
sem usar diretamente a fórmula do binômio de Newton.
Conteúdo envolvido: série de potências (Maclaurin), série geométrica e derivação termo a termo.
O que a gente vai precisar:
1) A série geométrica básica para
2) Saber que podemos derivar essa série termo a termo dentro do raio de convergência.
3) Reindexar a soma para ficar na forma
Passo 2
Primeiro, escrevemos
e usamos a série geométrica
Aqui
, então
válido para
, isto é
.
Passo 3
Agora definimos
Como
, note que
Mas, na teoria de derivadas, dá pra ver também que
Logo
Passo 4
Substituímos
e fatoramos:
Agora reindexamos com
, ou seja
. Quando
,
; e
. Assim
Passo 5
Convergência: a série original de
converge para
. Aí as derivações termo a termo também só valem dentro de
. Como o intervalo
está dentro de
, a série converge uniformemente em
e representa exatamente
ali.
Resposta
A Série de Maclaurin de
é
é