Seja f(x)=1(2-x)^3
(a) Encontre a Série de Maclaurin de f (sem usar a série binomial) e mostre que a série representa a função em [-1,1].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Série de Maclaurin de
f(x)=1(2-x)^3
sem usar diretamente a fórmula do binômio de Newton.
Conteúdo envolvido: série de potências (Maclaurin), série geométrica e derivação termo a termo.
O que a gente vai precisar:
1) A série geométrica básica para .
2) Saber que podemos derivar essa série termo a termo dentro do raio de convergência.
3) Reindexar a soma para ficar na forma .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
12-x ;=;12;11 - x2
e usamos a série geométrica
11 - u ;=;sumn=0^infty u^n,para |u|<1
Aqui 12-x =12sumn=0^inftyl(x2r)^n =sumn=0^inftyx^n2^,n+1, , então
válido para , isto é .

Passo 3

Agora definimos
g(x)=12-x=sumn=0^infty an,x^n,onde an=12^n+1
Como g'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, g''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 , note que
d^2dx^2l(12-xr) =ddxl((2-x)^-2r) =2,(2-x)^-3 =2,f(x)
Mas, na teoria de derivadas, dá pra ver também que
g''(x)=2,f(x) Longrightarrow f(x)=g''(x)2 =12sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
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Passo 4

Substituímos f(x) =12sumn=2^infty n(n-1),x^n-22^n+1 =sumn=2^inftyn(n-1)2^,n+2,x^n-2 e fatoramos:
f(x) =sumk=0^infty(k+2)(k+1)2^,(k+2)+2,x^k =sumk=0^infty(k+2)(k+1)2^,k+4,x^k
Agora reindexamos com , ou seja . Quando , ; e . Assim

Passo 5

Convergência: a série original de converge para . Aí as derivações termo a termo também só valem dentro de . Como o intervalo está dentro de , a série converge uniformemente em e representa exatamente ali.

Resposta

A Série de Maclaurin de
boxed sumk=0^infty (k+2)(k+1)2^,k+4,x^k, que representa f(x) em [-1,1]
é

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