Encontre a representação em série de potências e determine o seu raio de convergência
b) f(raizx) onde (0)=1,(f^prime(0)=0 e f^prime prime(x)=11+x^4

Passo 1

Beleza, então o problema diz: a gente tem uma função tal que
E pede pra achar a série de potências de e também o raio de convergência dessa série.
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de potências (Maclaurin), integração termo a termo para subir da segunda derivada até a função, e depois substituição .

Passo 2

Primeiro a gente expande
f''(x)=11+x^4
como série de potências em torno de 11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n, |u|<1 . Lembrando da fórmula da soma de uma PG:
f''(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^4n, |x^4|<1 (ie |x|<1)
Aqui . Então

Passo 3

Agora integramos termo a termo pra achar f'(x)=C+sumn=0^infty(-1)^nx^4n+14n+1 . Se
boxedf'(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+14n+1 ,
então
Como o enunciado diz que , basta avaliar em : todos os termos viram zero e sobra .
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Passo 4

Para achar f(x)=f(0)+integral0^x f'(t),dt =1+sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^4n+14n+1,dt , integramos de novo:
boxedf(x)=1+sumn=0^infty(-1)^nx^4n+2(4n+1)(4n+2)
Fazendo a integral , vem

Passo 5

Agora substituímos f(raizx) =1+sumn=0^infty(-1)^n(raizx)^4n+2(4n+1)(4n+2) =1+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(4n+1)(4n+2) para obter . Basta trocar por na série:

Passo 6

Falta o raio de convergência. A série original de tinha raio . Como integração e substituição não altera o raio (bastando ), o raio de convergência em continua 1.

Resposta

Série de potências para boxedf(raizx)=1+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(4n+1)(4n+2), :
com raio de convergência .

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