Encontre a representação em série de potências e determine o seu raio de convergência
b)
onde
e
b)
Passo 1
Beleza, então o problema diz: a gente tem uma função
tal que
E pede pra achar a série de potências de
e também o raio de convergência dessa série.
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de potências (Maclaurin), integração termo a termo para subir da segunda derivada até a função, e depois substituição .
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de potências (Maclaurin), integração termo a termo para subir da segunda derivada até a função, e depois substituição
Passo 2
Primeiro a gente expande
como série de potências em torno de
. Lembrando da fórmula da soma de uma PG:
Aqui
. Então
Passo 3
Agora integramos termo a termo pra achar
. Se
,
então
então
Como o enunciado diz que
, basta avaliar em
: todos os termos viram zero e sobra
.
Logo
Logo
Passo 4
Para achar
, integramos de novo:
Fazendo a integral
, vem
Passo 5
Agora substituímos
para obter
. Basta trocar
por
na série:
Passo 6
Falta o raio de convergência. A série original de
tinha raio
. Como integração e substituição
não altera o raio (bastando
), o raio de convergência em
continua 1.
Resposta
Série de potências para
:
com raio de convergência
.