Use o Teorema de Taylor com
(dois termos) para provar que a desigualdade
é válida para todos os números reais, exceto
Passo 1
O problema pede para provar que
para todo
,
, usando o teorema de Taylor com dois termos (polinômio de grau 1) e o resto no formato de Lagrange. Vamos precisar do enunciado do teorema de Taylor e da expressão do resto.
Passo 2
Para aplicar o teorema, considere a função
em torno de
. O polinômio de Taylor de grau 1 é
O resto de ordem 2, na forma de Lagrange, diz que existe
entre 0 e
tal que
Passo 3
Como
para todo
real e
sempre que
, temos
Isso significa que
Passo 4
Concluímos, portanto, que para todo
vale a desigualdade
. No caso
, temos igualdade, pois
.
Resposta
Para todo
,
, vale
.