Use o Teorema de Taylor com n=2 (dois termos) para provar que a desigualdade 1+x é válida para todos os números reais, exceto x=0

Passo 1

O problema pede para provar que 1 + x < e^x para todo x in R, x neq 0, usando o teorema de Taylor com dois termos (polinômio de grau 1) e o resto no formato de Lagrange. Vamos precisar do enunciado do teorema de Taylor e da expressão do resto.

Passo 2

Para aplicar o teorema, considere a função f(t) = e^t em torno de t=0. O polinômio de Taylor de grau 1 é
f(0) + f'(0),x = 1 + x
O resto de ordem 2, na forma de Lagrange, diz que existe xi entre 0 e x tal que
R2(x) = f''(xi)2! , x^2 = e^xi2 , x^2

Passo 3

Como e^xi > 0 para todo xi real e x^2 > 0 sempre que x neq 0, temos
R2(x) = e^xi2 , x^2 > 0
Isso significa que
e^x = 1 + x + R2(x) > 1 + x

Passo 4

Concluímos, portanto, que para todo xneq 0 vale a desigualdade 1 + x < e^x. No caso x=0, temos igualdade, pois 1+0 = e^0 = 1.

Resposta

Para todo xinR, xneq0, vale 1 + x < e^x.

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