Mostre que, dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), a função que se melhor ajusta aos pontos pelo método da regressão linear coincide com a equação da reta que passa por esses pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede para mostrar que, se a gente só tem dois pontos e , a reta que sai do método de regressão linear (aquele que minimiza a soma dos quadrados dos erros) é exatamente a mesma reta que passa pelos dois pontos.
Conteúdo: regressão linear simples.
O que vamos usar:
  1. Fórmulas de coeficiente angular e linear na regressão
    ,
    .
  2. Cálculo de médias , .

Passo 2

Primeiro, como só temos dois pontos ( bar x = x1 + x22, bar y = y1 + y22 ), as médias são
sumi=1^2 (xi - bar x)(yi - bar y) = (x1-bar x)(y1-bar y) + (x2-bar x)(y2-bar y)
Definimos também
x1 - bar x = x1 - x22 = -De e y1 - bar y = -De.
Agora vamos calcular o numerador e o denominador de Num = l(-tfracDe.
Numerador:
sumi=1^2 (xi - bar x)^2 = l(-tfracDe
Mas
e de modo similar
Logo
Denominador:

Passo 3

Agora o coeficiente angular a = NumDen = De fica
b = bar y - a,bar x = y1 + y22 - y2 - y1x2 - x1,x1 + x22
que é exatamente o “ ” da reta que liga os dois pontos.
O coeficiente linear é dado por
Se você organizar essa expressão, vai ver que ela coincide com o da equação clássica
que passa por e .

Resposta

A reta de regressão fica
y = a,x + b com a = y2 - y1x2 - x1,
logo dá exatamente a reta que passa pelos dois pontos, por exemplo escrita como
y - y1 = y2 - y1x2 - x1,(x - x1)

Exercícios relacionados