Mostre que, dados dois pontos
e
, a função que se melhor ajusta aos pontos pelo método da regressão linear coincide com a equação da reta que passa por esses pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede para mostrar que, se a gente só tem dois pontos
e
, a reta que sai do método de regressão linear (aquele que minimiza a soma dos quadrados dos erros) é exatamente a mesma reta que passa pelos dois pontos.
Conteúdo: regressão linear simples.
O que vamos usar:
Conteúdo: regressão linear simples.
O que vamos usar:
- Fórmulas de coeficiente angular
e linear na regressão
,
. - Cálculo de médias
, .
Passo 2
Primeiro, como só temos dois pontos (
), as médias são
Definimos também
e
.
Agora vamos calcular o numerador e o denominador de .
Agora vamos calcular o numerador e o denominador de
Numerador:
Mas
e de modo similar
Logo
Denominador:
Passo 3
Agora o coeficiente angular
fica
que é exatamente o “
” da reta que liga os dois pontos.
O coeficiente linear
é dado por
Se você organizar essa expressão, vai ver que ela coincide com o
da equação clássica
que passa por
e
.
Resposta
A reta de regressão fica
logo dá exatamente a reta que passa pelos dois pontos, por exemplo escrita como