Conhecemos estes pontos da curva da função
:
0
1
0,4508
2
0,8453
3
2
7
3,1547
20
3,5492
35
4
55
Usando cinco casas decimais,qual é a aproximação de
fornecida pela quadratura de Gauss- Legendre com dois pontos?
a. 49 ◯
b. 48 ◯
C. 46 ◯
d. 47 ◯
e. 50 ◯
|
|
|
| 0 | 1 |
| 0,4508 | 2 |
| 0,8453 | 3 |
| 2 | 7 |
| 3,1547 | 20 |
| 3,5492 | 35 |
| 4 | 55 |
a. 49 ◯
b. 48 ◯
d. 47 ◯
e. 50 ◯
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar a integral
usando a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos, e apresentar o resultado com cinco casas decimais.
Pontos conhecidos (peguei os dados da tabela do enunciado): ,
,
,
,
,
,
.
Resposta final desejada: um número com cinco casas decimais que aproxima .
Pontos conhecidos (peguei os dados da tabela do enunciado):
Resposta final desejada: um número com cinco casas decimais que aproxima
Passo 2
O método (rápida aula): a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos integra exatamente polinômios de grau até 3 usando os dois nós e pesos na referência
. Na referência
os nós e pesos são:
Para integrar numa janela arbitrária
fazemos a mudança de variável linear
e a fórmula transforma-se em
onde
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular os nós mapeados para
(vou mostrar com cinco casas decimais como pede o enunciado). Primeiro os
com cinco casas decimais:
Agora
(porque
e
):
Observação: esses valores coincidem (com as cinco casas consideradas) com os pontos da tabela
e
. Vou usar os valores de
fornecidos na tabela nesses pontos.
Passo 4
Pegar os valores de
nos nós (usei os dados da tabela):
para a tabela dá
, logo
.
para a tabela dá
, logo
.
para
para
Passo 5
Aplicar a fórmula da quadratura (aqui
e
):
Passo 6
Arredondamento final: pediram cinco casas decimais, então escrevo o resultado com cinco casas decimais: