Conhecemos estes pontos da curva da função f
x f(x)
0 1
0,4508 2
0,8453 3
2 7
3,1547 20
3,5492 35
4 55
Usando cinco casas decimais,qual é a aproximação de \int_{0}^{4} f fornecida pela quadratura de Gauss- Legendre com dois pontos?
a. 49 ◯
b. 48 ◯
C. 46 ◯
d. 47 ◯
e. 50 ◯

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{4} f(x)\,dx usando a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos, e apresentar o resultado com cinco casas decimais.
Pontos conhecidos (peguei os dados da tabela do enunciado): (0,1), (0,4508,2), (0,8453,3), (2,7), (3,1547,20), (3,5492,35), (4,55).
Resposta final desejada: um número com cinco casas decimais que aproxima \displaystyle \int_{0}^{4} f(x)\,dx.

Passo 2

O método (rápida aula): a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos integra exatamente polinômios de grau até 3 usando os dois nós e pesos na referência [-1,1]. Na referência [-1,1] os nós e pesos são:
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad w_{1}=w_{2}=1.
Para integrar numa janela arbitrária [a,b] fazemos a mudança de variável linear
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t,
e a fórmula transforma-se em
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_{i}\,f\big(x_{i}\big),
onde x_{i}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b-a}{2}\,t_{i}. Aqui a=0 e b=4.

Passo 3

Calcular os nós mapeados para [0,4] (vou mostrar com cinco casas decimais como pede o enunciado). Primeiro os t com cinco casas decimais:
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0,57735,\qquad t_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,57735.
Agora x_{i}=2+2\,t_{i} (porque \dfrac{a+b}{2}=2 e \dfrac{b-a}{2}=2):
x_{1}=2+2(-0,57735)=2-1,15470=0,84530,
x_{2}=2+2(0,57735)=2+1,15470=3,15470.
Observação: esses valores coincidem (com as cinco casas consideradas) com os pontos da tabela 0,8453 e 3,1547. Vou usar os valores de f fornecidos na tabela nesses pontos.

Passo 4

Pegar os valores de f nos nós (usei os dados da tabela):
para x_{1}=0,84530 a tabela dá f(0,8453)=3, logo f(x_{1})=3.
para x_{2}=3,15470 a tabela dá f(3,1547)=20, logo f(x_{2})=20.

Passo 5

Aplicar a fórmula da quadratura (aqui w_{1}=w_{2}=1 e \dfrac{b-a}{2}=2):
\int_{0}^{4} f(x)\,dx \approx 2\big( f(x_{1})+f(x_{2})\big)=2\big(3+20\big)=2\cdot 23=46.

Passo 6

Arredondamento final: pediram cinco casas decimais, então escrevo o resultado com cinco casas decimais:
46,00000.

Resposta

46,00000

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