Encontre o polinômio interpolador do conjunto de pontos (0,1),(1,6),(2,5),(3,-8), por sistema linear.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: “Encontrar o polinômio interpolador do conjunto de pontos {(0,1),(1,6),(2,5),(3,-8)} por sistema linear.”
Isso faz parte de interpolação polinomial e envolve montar um sistema linear (o famoso sistema de Vandermonde) para achar os coeficientes de um polinômio de grau no máximo 3. A gente vai precisar:
  • Escrever um polinômio genérico de grau ≤ 3: P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
  • Substituir cada ponto para gerar 4 equações em .
  • Resolver esse sistema via álgebra básica (eliminação, substituição).

Passo 2

Vamos montar as equações ponto a ponto:
  1. Para a+b+c=5tag1:
    8a+4b+2c=4tag2
    tag327a+9b+3c=-9
  2. Para :

    . Como , fica
  3. Para :

    . Com :
  4. Para :

    (já que ).

Passo 3

Agora a gente resolve o sistema
(1)
(2)
(3) .
Primeiro, simplifico (2) e (3):
(2’)
(3’) .
Subtraindo (2’) de (3’):


Agora uso (1) para achar :
Jogo e em (2’):




Então
,
,
.

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP(x)=-x^3+6x+1

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